Feladat: Gy.2103 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bán Rita ,  Birkás Gy. ,  Boros 966 Z. ,  Bujdosó 419 L. ,  Domokos M. ,  Edvi T. ,  Gróf Andrea ,  Hajdú S. Z. ,  Hetyei Judit ,  Hraskó A. ,  Jedlovszky P. ,  Kós G. ,  Montágh B. ,  Péter O. ,  Pintér Gabriella ,  Ribényi Á. ,  Simon Gy. ,  Somogyi 196 A. ,  Tóth L. ,  Zsigri G. 
Füzet: 1983/október, 66 - 67. oldal  PDF file
Témakör(ök): Függvényegyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1983/február: Gy.2103

Az f:RR függvényről tudjuk, hogy f(1)=0, másrészt bármely két valós (x,y) számra |f(x)-f(y)|=|x-y|. Határozzuk meg az f függvényt!

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feltételben y helyére 1-et írva kapjuk, hogy minden xR esetén |f(x)|=|x-1|, azaz minden xR-re

vagyf(x)=x-1,vagyf(x)=1-x.(1)
A feladat egy megoldását kapjuk, ha minden xR-re az első eset teljesül, vagyis a függvény x helyen felvett értéke x-1 minden xR-re:
f:xx-1.
Valóban, ekkor
|f(x)-|f(y)|=|(x-1)-(y-1)|=|x-y|.

Hasonlóan megoldást kapunk, ha minden x-re (1)-ben a második lehetőség teljesül, azaz
f:x1-x.

Vajon vannak-e olyan függvények, melyeknél mindkét lehetőség előfordul, vagyis amikor valamilyen, 1-től különböző xR valós számra f(x)=x-1, és valamilyen, szintén 1-től különböző yR valós számra f(y)=1-y. Beláthatjuk, hogy ilyen megoldása nincs a feladatnak. Ugyanis a feladatban szereplő feltételt erre az (x,y) számpárra felírva
|x-y|=|f(x)-f(y)|=|(x-1)-(1-y)|,
azaz
|(x-1)-(y-1)|=|(x-1)+(y-1)|.
Ha két szám ‐ jelen esetben (x-1) és (y-1) ‐ különbségének és összegének abszolút értéke egyenlő, akkor a két szám egyike 0, vagyis vagy x=1, vagy y=1. Ez pedig lehetetlen, hiszen mindkét lehetőséget kizártuk.
A feladat feltételének tehát két függvény tesz eleget: az egyik az x helyen az x-1 értéket veszi fel, a másik az x helyen az 1-x értéket.
 

Megjegyzés. A dolgozatok nagy része azt a pontatlan következtetést tartalmazta, hogy ha |f(x)|=|x-1|, akkor vagy f(x)=x-1, vagy f(x)=-(x-1). A következtetés ebben a formájában csak akkor helyes, ha ezekben az egyenlőségekben a megfelelő függvények egy adott helyettesítési értéke szerepel. A megoldók azonban magukra a függvényekre gondoltak. Így viszont az állítás már nem igaz: végtelen sok olyan f függvény van, amelyre |f(x)|=|x-1|. Az abszolút érték felbontásának az egyenletek megoldásakor használt módszere itt azért vezet hibás okoskodáshoz, mert most maga a függvény az ismeretlen, nem pedig értelmezési tartományának bizonyos elemei. A f(x) ugyanúgy jelöli a függvényt, és a helyettesítési értéket is. Ez általában nem zavaró. Itt azonban sokakat megtévesztett, és egy helyettesítési értékekről szóló állítást formailag egy, a függvényről szóló állítással azonosítottak.