Feladat: Gy.2098 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Balog 444 P. ,  Barsi S. ,  Bíborka Judit ,  Boros 966 Z. ,  Bujdosó 419 L. ,  Czabarka Éva ,  Edvi T. ,  Füst Á. ,  Giba P. ,  Grallert Ágnes ,  Gróf A. ,  Hraskó A. ,  Jedlovszky P. ,  Kónya Eszter ,  Kós G. ,  Magyar P. ,  Megyesi Gábor ,  Papp 710 Zs. ,  Porkoláb L. ,  Simon Gy. ,  Somogyi 196 A. ,  Zsigri G. 
Füzet: 1983/november, 138. oldal  PDF file
Témakör(ök): Súlyvonal, Terület, felszín, Egyéb sokszögek geometriája, Gyakorlat, Középvonal, Háromszögek hasonlósága
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1983/január: Gy.2098

Egy konvex ötszög minden csúcsát összekötjük a szemközti oldal felezőpontjával. Bizonyítsuk be, hogy ha mindegyik egyenes felezi az ötszög területét, akkor egy ponton mennek keresztül.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelölje A, B, C, D, E az ötszög csúcsait és legyen az A csúccsal szemközti oldal felezőpontja A1, a B-vel szemközti oldal felezőpontja B1. és így tovább. Először megmutatjuk, hogy ABA1B1CEC1E1.

Jelöljük az X, Y, Z pontok által meghatározott háromszög területét tXYZ-vel.
Feltétel szerint
tAD1D+tADE=tBD1D+tBDC.
A DD1 súlyvonal felezi az ABD háromszög területét: tAD1D=tBD1D, és ezért tADE=tBDC. Hasonlóan kapjuk, hogy tABE=tEDC=tEAB=tBCD=tADE.
Az ABC és ABE közös alapú, egyenlő területű háromszögek, ezért E és C egyenlő távol van az AB egyenestől, azaz ABCE. Az ABCE trapézban C1E1 középvonal, a CED háromszögben pedig az A1B1 középvonal, ezért E1C1ECABA1B1. Ezzel igazoltuk állításunkat.
Ugyanígy kapjuk, hogy ADA1D1 és BDB1D1, vagyis az ABD és A1B1D1 háromszögek oldalai páronként párhuzamosak. A két háromszög tehát centrálisan hasonló. A megfelelő csúcsaikat összekötő szakaszok átmennek a centrumon, AA1, BB1 és DD1 tehát egy pontban metszik egymást.
Abból, hogy az ACD és A1C1D1 háromszögek megfelelő oldalai párhuzamosak, kapjuk, hogy AA1 és DD1 metszéspontján átmegy CC1 is. Végül a BDE és a B1D1E1 háromszögek centrális hasonlóságából adódik, hogy ezt a közös pontot EE1 is tartalmazza.
 
 Megyesi Gábor (Szeged, Ságvári E. Gyak. Gimn., II. o. t.)
 dolgozata alapján
 
Megjegyzések. 1. Sok megoldó próbálta " fizikusan'' megoldani a feladatot. Ezek még fizikai szempontból is hibásak, így természetesen nem kaptak pontot. Mások tudni, ill. bizonyítani vélték, hogy a feltételeknek megfelelő ötszög mindig szabályos. Ez nem igaz.
2. Legyen adva a síkon egy e egyenes és egy λ>0 valós szám. Az e egyenesre vonatkozó λ arányú merőleges affinitásnak nevezzük a következő transzformációt: Tekintsük az e egyenest egy derékszögű koordináta‐rendszer x-tengelyének, és az (x,y) pontot vigye a transzformáció a (λx,y) pontba. Az affinitással való ismerkedésképpen érdemes bebizonyítani az alábbi tulajdonságokat: az affinitás egyenest egyenesbe visz; egy egyenesen levő pontok távolságarányát megtartja; síkidomok területének arányát megtartja. Ezek alapján belátható, hogy a szabályos ötszög affin képei eleget tesznek a feladat feltételeinek. A feladatban szereplő tulajdonsággal bíró ötszögek pontosan azok, amelyek a szabályos ötszögből legfeljebb két affinitással keletkeznek. Ennek bizonyítását nem részletezzük.