Feladat: Gy.2092 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Füzet: 1983/november, 137. oldal  PDF file
Témakör(ök): Húrnégyszögek, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül sokszögekben, Szabályos sokszögek geometriája, Gyakorlat, Középponti és kerületi szögek
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1982/december: Gy.2092

Egy O középpontú szabályos 18-szög négy egymás utáni csúcsa A,B,C,D. Legyen az AC szakasz felezőpontja P, az OD szakaszé Q. Bizonyítsuk be, hogy az OPQ=30.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 

Mivel szabályos 18-szögről van szó, AOB=BOC=COD=20. Az AOC egyenlő szárú háromszögben OB merőleges az alapra, így OPA derékszögű háromszög. Az AOD háromszög szabályos, mert egyenlő szárú, és az AOD szöge 60. Az AQ egyenes e háromszög szimmetriatengelye, és így OQA=90, OAQ=30. Az OA fölé rajzolt Thalész‐kör tehát tartalmazza P és Q pontokat, és így APQO húrnégyszög. A kerületi szögek tétele alapján OPQ=OAQ=30, s ezt kellett belátnunk.