Feladat: Gy.2090 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bán Rita ,  Békési Ildikó ,  Bíborka Judit ,  Bokros Sz. ,  Bóna M. ,  Bujdosó 419 L. ,  Bujdosó Mónika ,  Csala P. ,  Csermely Ágnes ,  Czímer Cs. ,  Dénes F. ,  Drasny G. ,  Dringó L. ,  Hornok S. ,  Jancsó T. ,  Kánnár J. ,  Katona 967 A. ,  Kollár A. ,  Kónya Eszter ,  Magyar P. ,  Malatinszky A. ,  Molnár I. ,  Papp 710 Zs. ,  Pintér Gabriella ,  Ribényi Á. ,  Simon Gy. ,  Somogyi 196 A. ,  Stefán 511 I. ,  Szabó 212 Z. ,  Szirmai Á. ,  Takácsi-Nagy P. ,  Tóth L. ,  Uhlmann E. ,  Zsigri G. 
Füzet: 1983/november, 136 - 137. oldal  PDF file
Témakör(ök): Hozzáírt körök, Hossz, kerület, Diszkusszió, Síkgeometriai szerkesztések, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1982/december: Gy.2090

Adott egy konvex szög és kívüle egy P pont. Húzzunk a P ponton át egy olyan egyenest, amely a szögtartományból egy adott kerületű háromszöget vág le. Mi a szerkeszthetőség feltétele ?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelölje A a konvex szög csúcsát, e, f a félegyeneseket. Tegyük fel, hogy már meghúztuk P-n keresztül a kívánt egyenest. Messe ez e-t, ill. f-et a B, ill. C pontokban. Tekintsük az ABC háromszög BC oldalához hozzáírt k kört, érintse ez e-t, ill. f-et az E, ill. F pontokban. Ismeretes, hogy ha 2s jelöli az ABC háromszög kerületét, akkor AE=AF=s.

 
 

Ezek alapján a szerkesztés a következő: az adott kerületből az E és F pontok szerkeszthetők. Ezután megszerkesztjük azt a kört, mely a szög szárait E és F pontban érinti. Az EF egyenes két féksíkra osztja a síkot, az egyiknek A belső pontja. A k kör ezen félsíkba eső (végpontok nélküli) ívéhez P-ből érintőt húzva kapjuk a BC oldal egyenesét. Ennek a háromszögnek a kerülete a kívánt, mivel k az ABC háromszög BC oldalához hozzáírt köre.
 
 

Mivel k mindig szerkeszthető, így a megoldhatóságnak az a feltétele, hogy P-ből érintő húzható a ívhez. Ha minden pontjában meghúzzuk az érintőt, az így kapott egyenessereg a síknak a szögtartományon kívül eső részéből a szög kiegészítő szögeinek minden pontját lefedi, viszont a csúcsszögnek és határának egyik pontját sem. Tehát a megoldhatóság feltétele, hogy P ne legyen a szög csúcsszögtartományában vagy annak határán.