Kezdőlap


Feladat:	Gy.2068	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Uhlmann Erik
Füzet:	1983/január, 17. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Gyakorlat, Mértani középtételek derékszögű háromszögekben
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1982/szeptember: Gy.2068

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A $D E B$ háromszög derékszögű, hiszen $B D$ átmérője a $k$ -nak. Ezért a háromszög $B E$ befogója mértani középarányos az átfogóra eső vetülete és az átfogó között, azaz

\begin{matrix} B E^{2} = B C \cdot B D . \end{matrix}

A F D

ugyancsak derékszögű, és így felírhatjuk rá a magasságtételt, amely szerint

\begin{matrix} B F^{2} = A B \cdot B D . \end{matrix}

Mivel

A B = B C

, hiszen mindkettő a

k_{1}

kör sugarával egyenlő, azért

B E^{2} =

= B F^{2}

, de a szakaszok pozitívak és így négyzetük egyenlőségéből következik a szakaszok egyenlősége is.

Uhlmann Erik (Miskolc, Földes F. Gimn., II. o. t.)

Megjegyzés. A kör tengelyes szimmetriája miatt mindegy, hogy az

E

és

F

pontok az

A D

átmérő különböző partjára esnek-e vagy sem.