Feladat: Gy.2068 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Uhlmann Erik 
Füzet: 1983/január, 17. oldal  PDF file
Témakör(ök): Gyakorlat, Mértani középtételek derékszögű háromszögekben
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1982/szeptember: Gy.2068

A BD átmérőjű k kör B pontja körül k-énál kisebb sugárral rajzolt kör a BD szakaszt C-ben, BD meghosszabbítását A-ban metszi. A C-n át BD-re merőlegesen rajzolt egyenes k-val alkotott egyik metszéspontja E. Rajzoljuk meg továbbá az AD átmérőjű kört és a BD-re merőleges, B-n átmenő egyenest. Legyen ezek egyik metszéspontja F. Bizonyítsuk be, hogy BE=BF.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A DEB háromszög derékszögű, hiszen BD átmérője a k-nak. Ezért a háromszög BE befogója mértani középarányos az átfogóra eső vetülete és az átfogó között, azaz

BE2=BCBD.

Az AFD ugyancsak derékszögű, és így felírhatjuk rá a magasságtételt, amely szerint
BF2=ABBD.
Mivel AB=BC, hiszen mindkettő a k1 kör sugarával egyenlő, azért BE2= =BF2, de a szakaszok pozitívak és így négyzetük egyenlőségéből következik a szakaszok egyenlősége is.
 

Uhlmann Erik (Miskolc, Földes F. Gimn., II. o. t.)

 
Megjegyzés. A kör tengelyes szimmetriája miatt mindegy, hogy az E és F pontok az AD átmérő különböző partjára esnek-e vagy sem.