Kezdőlap


Feladat:	Gy.2061	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bujdosó 419 L. , Edvi T. , Giba P. , Gulyás Éva , Kaiser A. , Megyesi G. , Molnár B. , Rónaszéki I. , Szabó 741 Z. , Tóth Ágota , Vörös Éva , Zabó T.
Füzet:	1987/november, 381 - 384. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tengely körüli forgatás, Négyszög alapú gúlák, Szabályos sokszög alapú egyéb hasábok, Poliéderek szimmetriái, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1982/május: Gy.2061

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A metsző síkok a hasáb tengelyét ugyanabban a pontban metszik, ugyanis a hasábot és a metsző síkokat a tengely körüli $72^{\circ}$ -os elforgatások önmagába, ill. egymásba viszik át. E pontot jelöljük $O$ -val. Mivel az eredeti hasáb konvex, és a metsző félterek is azok, ezért a keletkező testek valamennyien konvexek.

1.a ábra

1.b ábra

Tekintsük most az

O

pontot a hasáb felszínével összekötő szakaszokat (1.b ábra). Ezek nem metszhetik az öt sík egyikét sem, hisz

O

végpontjuk valamennyi metsző síkon rajta van. Így minden egyes ilyen szakasz valamelyik keletkező test belsejében vagy annak határán halad. Az

O

pont így valamennyi keletkező testnek csúcsa lesz. Mivel pedig a keletkező testek konvexek, a további csúcsok nem lehetnek a hasáb belsejében. A keletkező testek leírásához tehát elegendő megvizsgálnunk, hogy a metsző síkok milyen részekre osztják a hasáb felszínét.
Az alap- és a fedőlapot a metsző síkok nyilván nem metszik belső pontokban. Az oldallapok közül pedig elegendő egyet ‐ például az

A B B_{1} A_{1}

téglalapot ‐ vizsgálni, mert a hasáb tengelye körüli

72^{\circ}

-os elforgatások az oldallapokat egymásba viszik át. Vizsgáljuk meg, hogy milyen metszősíkoknak van közös pontjuk az

A B B_{1} A_{1}

lap belsejével (2. ábra)!

2. ábra

A B D_{1}

sík a lap síkját az

A B

egyenesben metszi, más közös pontjuk tehát nincs. A

B C E_{1}

sík átmegy a

B

ponton, egy

A_{2}

pontban metszi az

A A_{1}

élt, tehát az

A B B_{1} A_{1}

lapot a

B A_{2}

szakaszban metszi. Az

E A C_{1}

sík a

B C E_{1}

síknak az

A B

szakasz felező merőleges síkjára vonatkozó tükörképe, tehát az

E A C_{1}

sík az

A B B_{1} A_{1}

lapot az

A B_{2}

szakaszban metszi, ahol

B_{2}

A_{2}

pont tükörképe az

A B

felező merőleges síkjára. A

C D A_{1}

sík a

B C E_{1}

síknak a hasáb tengelye körüli

72^{\circ}

-os elforgatottja, tehát átmegy az

A_{2}

pont

72^{\circ}

-os elforgatottján, ami éppen

B_{2}

. Így a

C D A_{1}

sík az

A B B_{1} A_{1}

lapot a

B_{2} A_{1}

szakaszban metszi. Ugyanígy kapjuk, hogy a

D E B_{1}

sík az

A_{2} B_{1}

szakaszban metszi az

A B B_{1} A_{1}

lapot. Jelöljük az

A B_{2}

és

B A_{2}

szakaszok metszéspontját

M_{A B}

-vel, az

A_{1} B_{2}

és

B_{1} A_{2}

szakaszok metszéspontját pedig

N_{A B}

-vel (3. ábra)!

3. ábra

A hasáb többi oldallapján ugyanígy kapjuk a

C_{2}

D_{2}

E_{2}

M_{B C}

...

M_{E A}

N_{B C}

...

N_{E A}

pontokat.

4. ábra

5. ábra

Ezen előkészületek után rátérünk a keletkező testek leírására. A hasáb

A B C D E

alaplapjára illeszkedik egy

O

csúcsú, ötszög alapú szabályos gúla (4. ábra), amelynek 6 csúcsa, 10 éle és 6 lapja van. A hasáb fedőlapjára egy megcsonkított, ötszög alapú gúla illeszkedik (5. ábra), amelynek 11 csúcsa van ‐

O

A_{1}

...

E_{1}

N_{A B}

...

N_{E A}

, ‐ 20 éle és 11 lapja. A további testekből a

72^{\circ}

-os forgásszimmetria miatt 5‐5 db van.
Ezek a testek a következők: Az alapon fekvő gúla oldallapjaihoz illeszkedő tetraéderek (6. ábra). Az alapon fekvő gúla oldaléleihez illeszkedő, két tetraéderből összeálló testek (7. ábra).

6. ábra

7. ábra

Ezeknek a testeknek 5 csúcsuk van ‐ például

O

A_{2}

A

M_{E A}

M_{A B}

, ‐ 9 élük és 6 lapjuk.

8. ábra

9. ábra

Az oldallapokhoz illeszkedő deltoid alapú gúlák (8. ábra). Ezeknek 5 csúcsuk ‐ például

O, A_{2}, M_{A B}, B_{2}, N_{A B}

, ‐ 8 élük és 5 lapjuk van. Végül az oldalélekhez illeszkedő deltoid alapú gúlák (9. ábra). Ezeknek is 5 csúcsuk ‐ például

O, A_{2}, N_{A B}, A_{1}, N_{E A}

, ‐ 8 élük és 5 lapjuk van, de nem egybevágóak a 8. ábrán szereplő, deltoid alapú gúlákkal, mert a két gúla térfogata különböző. A gúlák térfogata ugyanis megegyezik például az

O N_{A B} M_{A B} B_{2}

, illetve az

O B_{1} N_{A B} B_{2}

tetraéderek térfogatának kétszeresével. A két tetraéder

O

-val szemközti lapjai egy síkban vannak, az

N_{A B} M_{A B} B_{2}

és a

B_{1} N_{A B} B_{2}

háromszögek területe viszont nyilván nem egyenlő, mert

N_{A B} M_{A B} = \frac{B B_{1}}{2}, B_{2}

pedig nem felezőpontja a

B B_{1}

szakasznak.
Összesen tehát 6 különböző test keletkezik, a részek száma pedig 22.
Ezzel a feladatot megoldottuk.

Megjegyzés. A beküldők nagy része nem vizsgálta meg, hogy a 8., illetve 9. ábrán látható gúlák egybevágók-e, pedig a feladat ezt is kérdezte.