Feladat: Gy.2061 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bujdosó 419 L. ,  Edvi T. ,  Giba P. ,  Gulyás Éva ,  Kaiser A. ,  Megyesi G. ,  Molnár B. ,  Rónaszéki I. ,  Szabó 741 Z. ,  Tóth Ágota ,  Vörös Éva ,  Zabó T. 
Füzet: 1987/november, 381 - 384. oldal  PDF file
Témakör(ök): Tengely körüli forgatás, Négyszög alapú gúlák, Szabályos sokszög alapú egyéb hasábok, Poliéderek szimmetriái, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1982/május: Gy.2061

Egy szabályos öt oldalú hasáb alaplapja ABCDE, oldalélei AA1, BB1, CC1, DD1 és EE1. A testet elmetsszük az ABD1, BCE1, CDA1, DEB1 és EAC1 síkokkal. Írjuk le a keletkező különböző (nem egybevágó) részeket és adjuk meg létszámaikat.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A metsző síkok a hasáb tengelyét ugyanabban a pontban metszik, ugyanis a hasábot és a metsző síkokat a tengely körüli 72-os elforgatások önmagába, ill. egymásba viszik át. E pontot jelöljük O-val. Mivel az eredeti hasáb konvex, és a metsző félterek is azok, ezért a keletkező testek valamennyien konvexek.

 
 
1.a ábra
 

 
 
1.b ábra
 

Tekintsük most az O pontot a hasáb felszínével összekötő szakaszokat (1.b ábra). Ezek nem metszhetik az öt sík egyikét sem, hisz O végpontjuk valamennyi metsző síkon rajta van. Így minden egyes ilyen szakasz valamelyik keletkező test belsejében vagy annak határán halad. Az O pont így valamennyi keletkező testnek csúcsa lesz. Mivel pedig a keletkező testek konvexek, a további csúcsok nem lehetnek a hasáb belsejében. A keletkező testek leírásához tehát elegendő megvizsgálnunk, hogy a metsző síkok milyen részekre osztják a hasáb felszínét.
Az alap- és a fedőlapot a metsző síkok nyilván nem metszik belső pontokban. Az oldallapok közül pedig elegendő egyet ‐ például az ABB1A1 téglalapot ‐ vizsgálni, mert a hasáb tengelye körüli 72-os elforgatások az oldallapokat egymásba viszik át. Vizsgáljuk meg, hogy milyen metszősíkoknak van közös pontjuk az ABB1A1 lap belsejével (2. ábra)!
 
 
2. ábra
 

Az ABD1 sík a lap síkját az AB egyenesben metszi, más közös pontjuk tehát nincs. A BCE1 sík átmegy a B ponton, egy A2 pontban metszi az AA1 élt, tehát az ABB1A1 lapot a BA2 szakaszban metszi. Az EAC1 sík a BCE1 síknak az AB szakasz felező merőleges síkjára vonatkozó tükörképe, tehát az EAC1 sík az ABB1A1 lapot az AB2 szakaszban metszi, ahol B2 az A2 pont tükörképe az AB felező merőleges síkjára. A CDA1 sík a BCE1 síknak a hasáb tengelye körüli 72-os elforgatottja, tehát átmegy az A2 pont 72-os elforgatottján, ami éppen B2. Így a CDA1 sík az ABB1A1 lapot a B2A1 szakaszban metszi. Ugyanígy kapjuk, hogy a DEB1 sík az A2B1 szakaszban metszi az ABB1A1 lapot. Jelöljük az AB2 és BA2 szakaszok metszéspontját MAB-vel, az A1B2 és B1A2 szakaszok metszéspontját pedig NAB-vel (3. ábra)!
 
 
3. ábra
 

A hasáb többi oldallapján ugyanígy kapjuk a C2, D2, E2, MBC, ... , MEA, NBC, ... , NEA pontokat.
 
 
4. ábra
 

 
 
5. ábra
 

Ezen előkészületek után rátérünk a keletkező testek leírására. A hasáb ABCDE alaplapjára illeszkedik egy O csúcsú, ötszög alapú szabályos gúla (4. ábra), amelynek 6 csúcsa, 10 éle és 6 lapja van. A hasáb fedőlapjára egy megcsonkított, ötszög alapú gúla illeszkedik (5. ábra), amelynek 11 csúcsa van ‐ O, A1, ... , E1, NAB, ... , NEA, ‐ 20 éle és 11 lapja. A további testekből a 72-os forgásszimmetria miatt 5‐5 db van.
Ezek a testek a következők: Az alapon fekvő gúla oldallapjaihoz illeszkedő tetraéderek (6. ábra). Az alapon fekvő gúla oldaléleihez illeszkedő, két tetraéderből összeálló testek (7. ábra).
 
 
6. ábra
 

 
 
7. ábra
 


Ezeknek a testeknek 5 csúcsuk van ‐ például O, A2, A, MEA, MAB, ‐ 9 élük és 6 lapjuk.
 
 
8. ábra
 

 
 
9. ábra
 

Az oldallapokhoz illeszkedő deltoid alapú gúlák (8. ábra). Ezeknek 5 csúcsuk ‐ például O,A2,MAB,B2,NAB, ‐ 8 élük és 5 lapjuk van. Végül az oldalélekhez illeszkedő deltoid alapú gúlák (9. ábra). Ezeknek is 5 csúcsuk ‐ például O,A2,NAB,A1,NEA, ‐ 8 élük és 5 lapjuk van, de nem egybevágóak a 8. ábrán szereplő, deltoid alapú gúlákkal, mert a két gúla térfogata különböző. A gúlák térfogata ugyanis megegyezik például az ONABMABB2, illetve az OB1NABB2 tetraéderek térfogatának kétszeresével. A két tetraéder O-val szemközti lapjai egy síkban vannak, az NABMABB2 és a B1NABB2 háromszögek területe viszont nyilván nem egyenlő, mert NABMAB=BB12,B2 pedig nem felezőpontja a BB1 szakasznak.
Összesen tehát 6 különböző test keletkezik, a részek száma pedig 22.
Ezzel a feladatot megoldottuk.
 

Megjegyzés. A beküldők nagy része nem vizsgálta meg, hogy a 8., illetve 9. ábrán látható gúlák egybevágók-e, pedig a feladat ezt is kérdezte.