Feladat: Gy.2058 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Dobos B. ,  Feltein A. ,  Hajdú S. ,  Ladányi L. ,  Libor I. ,  Uhlmann E. 
Füzet: 1983/április, 156 - 157. oldal  PDF file
Témakör(ök): Háromszögek egybevágósága, Thalesz tétel és megfordítása, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1982/május: Gy.2058

Egy ABCD négyzet AB és BC oldalán úgy vettük fel a P, ill. Q pontot, hogy BP=BQ. B-ből PC-re állított merőleges talppontja T. Mekkora a DTQ ?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen S a BT és AD egyenesek metszéspontja. Ha P az AB szakasz belső pontja, akkor S belső pontja az AD szakasznak.

Az ABS és BCP derékszögű háromszögek egybevágók: egy megfelelő oldaluk négyzetoldal és SBA, PCB mint merőleges szárú hegyesszögek egyenlőek. Innen AS=BP. Mivel BP=BQ, ezért SQCD négyszög téglalap. Körülírt köre, amely átlóinak Thalész köre, tartalmazza mindazokat a pontokat, melyekből az átlók derékszög alatt látszanak. Tudjuk, hogy STC derékszög és így rajta van e Thalész körön, tehát T-ből a másik átló is derékszög alatt látszik. Így DTQ derékszög.
Ha P egybeesik A-val, akkor Q a C ponttal azonos. Ekkor T a négyzet középpontja, így DTC nyilván 90, derékszög.
Ha P a B ponttal azonos, akkor ugyanide esik Q és egyben T is, s így nincs értelme a feladatnak.