Feladat: Gy.2054 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Bangha I. ,  Baumgartner Z. ,  Boros 966 Z. ,  Bujdosó 419 L. ,  Csákány B. ,  Császár Cs. ,  Diczházi Cs. ,  Edvi T. ,  Fazekas 967 Zs. ,  Füst Ágnes ,  Galgóczi 966 J. ,  Hajdú S. Z. ,  Hetyei Judit ,  Hraskó A. ,  Ignácz M. ,  Jedlovszky P. ,  Kaiser A. ,  Kánnár J. ,  Klug R. ,  Koszó L. ,  Kovács 764 Judit ,  Makay G. ,  Marosvári 513 Zs. ,  Molnár 213 Zs. ,  Nagy Gy. 369 J. ,  Nyikes T. ,  Oravecz A. ,  Palotás Cs. ,  Péter O. ,  Pfeil T. ,  Uhlmann E. ,  Varga 132 G. ,  Zsigri G. 
Füzet: 1983/április, 156. oldal  PDF file
Témakör(ök): Halmazelmélet, Gyakorlat, Logikai feladatok
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1982/május: Gy.2054

Egy osztályban mindenki két szakkörbe jár, és bármely három gyerek jár közös szakkörbe. Bizonyítsuk be, hogy van olyan szakkör, ahová minden gyerek jár.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha nincs két gyerek, akik nem ugyanabba a két szakkörbe járnak, akkor minden gyerek ugyanabba a két szakkörbe jár, tehát igaz az állítás. Most vizsgáljuk azt a helyzetet, amikor van két gyerek, akik nem ugyanabba a két szakkörbe járnak. Ekkor nyilván van olyan szakkör, ahová mindketten járnak, hiszen bármely három is jár közös szakkörbe. Ebbe a szakkörbe viszont az osztályból kiválasztott tetszőleges harmadik is jár, mert vele együtt ez a két gyerek jár közös szakkörbe. Tehát van olyan szakkör, ahová minden gyerek jár.

 

Megjegyzés. Igen sok hiba forrása volt az, hogy a megoldó nem gondolt arra, hogy két gyerek esetleg két közös szakkörbe is járhat. Számos bizonyítás teljes indukcióval dolgozott, illetve a legnagyobb létszámú szakkör megkeresésével, de csak kevés olyan akadt, amelyik ezeket a módszereket lényegileg kihasználta. Többen észrevették, hogy a szakköröknek pontokat, a gyerekeknek szakaszokat megfeleltetve, Helly tételéből az állítás közvetlen adódik.