Kezdőlap


Feladat:	Gy.2045	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Diczházi Cs. , Hetyei G. , Jedlovszky P. , Megyesi G. , Szabó 112 T. , Törőcsik J. , Uhlmann E.
Füzet:	1983/december, 206 - 207. oldal		PDF file
Témakör(ök):	Pont körüli forgatás, Deltoidok, Négyszögek szerkesztése, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1982/március: Gy.2045

Szerkesszük meg a deltoidot, ha adottak az oldalai és tudjuk, hogy az átlói egyenlő hosszúak.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a deltoid csúcsait $A, B, C, D$ -vel, ahol $A B = A D = a$ és $C B = C D = b$ adottak. Képzeljük a feladatot megoldottnak, s forgassuk el az $A B C$ háromszöget ‐ $90^{\circ}$ -kal és toljuk el úgy, hogy az $A$ csúcs $D$ -be jusson. Mivel a deltoid átlói merőlegesek, továbbá feltételünk szerint egyenlők, azért a $C$ csúcs $B$ -be jut. Jelöljük $B$ új helyzetét $E$ -vel (1. ábra).

1. ábra

B E

szakasz

C B

-nek

90^{\circ}

-os elforgatottja, tehát a

B E C

háromszög

B

-ben derékszögű és egyenlő szárú. A

B E D C

négyszögnek tehát ismerjük mind a négy oldalát és még egy szögét is, így ezt a négyszöget meg tudjuk szerkeszteni. Ezzel a deltoid

B, C, D

csúcsait megkaptuk. Az

A

csúcsot pedig úgy kaphatjuk meg, hogy a

B E D

háromszöget "visszaforgatjuk'' úgy, hogy a

B

csúcs

C

-be,

E

pedig

B

-be kerüljön ‐ ekkor

D

képe

A

lesz.
A szerkesztés menetéből következik, hogy az

A B C D

négyszög

B C, C D

oldalai a megadott

b

szakasszal,

A B

oldala az

a

szakasszal egyenlők, és hogy az

A C, B D

átlók egyenlő hosszúak. Azt kell csak belátnunk, hogy az

A

D

-től is

a

távolságra van. A szerkesztés miatt

A C ⊥ B D,

hiszen a

B E D

háromszöget

90^{\circ}

-kal forgattuk el Másrészt

C B = C D (= b)

, így a

C A

egyenes a

B D

szakasz felezőmerőlegese. Így minden pontja ‐ tehát

A

is ‐ egyenlő távol van

B

-től és

D

-től. Így

A B C D

válóban deltoid, és eleget tesz a feltételeknek.

2. ábra

A 2. ábrán az

a, b

oldalpárból a

C E = \sqrt[]{2} \cdot b

szakasz fölé két megfelelő

D

pontot kaptunk,

D_{1}

mellett konvex lett a deltoid,

D_{2}

mellett konkáv. A visszaforgatás centrumát a

C E

szakasz

Ω

felezőpontja adja, hiszen itt metszik egymást az egymásba átmenő

B

és

C

, valamint

E

és

B

pontpárok felezőmerőlegesei, lévén hogy

C B E

egyenlő szárú derékszögű háromszög. Akkor van megoldás, ha az adott oldalak kisebbike legalább annyi, mint a nagyobbiknak a

(\sqrt[]{2} - 1)

-gyel való szorzata.