|
Feladat: |
Gy.2045 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Diczházi Cs. , Hetyei G. , Jedlovszky P. , Megyesi G. , Szabó 112 T. , Törőcsik J. , Uhlmann E. |
Füzet: |
1983/december,
206 - 207. oldal |
PDF file |
Témakör(ök): |
Pont körüli forgatás, Deltoidok, Négyszögek szerkesztése, Gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1982/március: Gy.2045 |
|
Szerkesszük meg a deltoidot, ha adottak az oldalai és tudjuk, hogy az átlói egyenlő hosszúak.
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Jelöljük a deltoid csúcsait -vel, ahol és adottak. Képzeljük a feladatot megoldottnak, s forgassuk el az háromszöget ‐ -kal és toljuk el úgy, hogy az csúcs -be jusson. Mivel a deltoid átlói merőlegesek, továbbá feltételünk szerint egyenlők, azért a csúcs -be jut. Jelöljük új helyzetét -vel (1. ábra).
1. ábra A szakasz -nek -os elforgatottja, tehát a háromszög -ben derékszögű és egyenlő szárú. A négyszögnek tehát ismerjük mind a négy oldalát és még egy szögét is, így ezt a négyszöget meg tudjuk szerkeszteni. Ezzel a deltoid csúcsait megkaptuk. Az csúcsot pedig úgy kaphatjuk meg, hogy a háromszöget "visszaforgatjuk'' úgy, hogy a csúcs -be, pedig -be kerüljön ‐ ekkor képe lesz. A szerkesztés menetéből következik, hogy az négyszög oldalai a megadott szakasszal, oldala az szakasszal egyenlők, és hogy az átlók egyenlő hosszúak. Azt kell csak belátnunk, hogy az a -től is távolságra van. A szerkesztés miatt hiszen a háromszöget -kal forgattuk el Másrészt , így a egyenes a szakasz felezőmerőlegese. Így minden pontja ‐ tehát is ‐ egyenlő távol van -től és -től. Így válóban deltoid, és eleget tesz a feltételeknek.
2. ábra A 2. ábrán az oldalpárból a szakasz fölé két megfelelő pontot kaptunk, mellett konvex lett a deltoid, mellett konkáv. A visszaforgatás centrumát a szakasz felezőpontja adja, hiszen itt metszik egymást az egymásba átmenő és , valamint és pontpárok felezőmerőlegesei, lévén hogy egyenlő szárú derékszögű háromszög. Akkor van megoldás, ha az adott oldalak kisebbike legalább annyi, mint a nagyobbiknak a -gyel való szorzata.
|
|