Feladat: Gy.2045 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Diczházi Cs. ,  Hetyei G. ,  Jedlovszky P. ,  Megyesi G. ,  Szabó 112 T. ,  Törőcsik J. ,  Uhlmann E. 
Füzet: 1983/december, 206 - 207. oldal  PDF file
Témakör(ök): Pont körüli forgatás, Deltoidok, Négyszögek szerkesztése, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1982/március: Gy.2045

Szerkesszük meg a deltoidot, ha adottak az oldalai és tudjuk, hogy az átlói egyenlő hosszúak.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a deltoid csúcsait A,B,C,D-vel, ahol AB=AD=a és CB=CD=b adottak. Képzeljük a feladatot megoldottnak, s forgassuk el az ABC háromszöget ‐ 90-kal és toljuk el úgy, hogy az A csúcs D-be jusson. Mivel a deltoid átlói merőlegesek, továbbá feltételünk szerint egyenlők, azért a C csúcs B-be jut. Jelöljük B új helyzetét E-vel (1. ábra).

 
 

1. ábra
 
 

A BE szakasz CB-nek 90-os elforgatottja, tehát a BEC háromszög B-ben derékszögű és egyenlő szárú. A BEDC négyszögnek tehát ismerjük mind a négy oldalát és még egy szögét is, így ezt a négyszöget meg tudjuk szerkeszteni. Ezzel a deltoid B,C,D csúcsait megkaptuk. Az A csúcsot pedig úgy kaphatjuk meg, hogy a BED háromszöget "visszaforgatjuk'' úgy, hogy a B csúcs C-be, E pedig B-be kerüljön ‐ ekkor D képe A lesz.
A szerkesztés menetéből következik, hogy az ABCD négyszög BC,CD oldalai a megadott b szakasszal, AB oldala az a szakasszal egyenlők, és hogy az AC,BD átlók egyenlő hosszúak. Azt kell csak belátnunk, hogy az A a D-től is a távolságra van. A szerkesztés miatt ACBD, hiszen a BED háromszöget 90-kal forgattuk el Másrészt CB=CD(=b), így a CA egyenes a BD szakasz felezőmerőlegese. Így minden pontja ‐ tehát A is ‐ egyenlő távol van B-től és D-től. Így ABCD válóban deltoid, és eleget tesz a feltételeknek.
 
 

2. ábra
 
 

A 2. ábrán az a,b oldalpárból a CE=2b szakasz fölé két megfelelő D pontot kaptunk, D1 mellett konvex lett a deltoid, D2 mellett konkáv. A visszaforgatás centrumát a CE szakasz Ω felezőpontja adja, hiszen itt metszik egymást az egymásba átmenő B és C, valamint E és B pontpárok felezőmerőlegesei, lévén hogy CBE egyenlő szárú derékszögű háromszög. Akkor van megoldás, ha az adott oldalak kisebbike legalább annyi, mint a nagyobbiknak a (2-1)-gyel való szorzata.