Kezdőlap


Feladat:	Gy.2015	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	1983/november, 133. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számjegyekkel kapcsolatos feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1981/december: Gy.2015

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a keresett számot $K$ -val, a fordítottját $F$ -fel. A triviális $K = 0$ megoldástól eltekintve $K$ első jegye nem lehet 0, így sem $F$ , sem $K = 9 F$ utolsó jegye nem lehet 0. Jelöljük $K$ szám jegyeinek a számát $n$ -nel, akkor

\begin{matrix} 10^{n - 1} \leq K = 9 F \leq 10^{n} - 1 \end{matrix}

miatt

F

nem lehet nagyobb annál az

n

jegyű számnál, amelyiknek minden számjegye egyes. Tehát

F

első számjegye 1 és

K

első számjegye 9, vagyis

K = 9 ... 1

F = 1 ... 9

. Vizsgáljuk meg, mi lehet

F

második számjegye.
Mivel

F \leq 11 ... 1

F

második számjegye vagy 1 vagy 0. Ha

F = 11 ... 9

K = 9 ... 11

volna,

K = 9 F

miatt

K

második jegye csak 7 lehetne, viszont

K = 97 ... 11 < 9 F

. Ha

F = 10 ... 9

K = 9 ... 01

, akkor

K

második jegye csak 8 lehet:

F = 10 ... 89

K = 98 ... 01

. Könnyen észrevehetjük, hogy a

K = 9801

F = 1089

számokra teljesül

K = 9 F

, tehát

K

értéke lehet

9801

Megjegyzések. 1. További megoldásokat keresve azt kell megvizsgálnunk, hogy milyen

k

-ra teljesül az

\begin{matrix} \bar{98 k 01} = 9 \cdot \bar{10 f 89} \end{matrix}

összefüggés, ahol

f

k

fordítottját; a felső vonal pedig a számjegyek összekapcsolását jelöli. Ebből némi számolással

\begin{matrix} 9 f - k = 8 (10^{n - 4} - 1) \end{matrix}

feltételt kapjuk, aminek például a csupa 9 számjeggyel felírt számok mindig eleget tesznek. Ez azt jelenti, hogy a

K = 98 ... 01

alakban a pontok helyére tetszőleges számú kilencest írva mindig megfelelő számot kapunk.
2. Belátható az is, hogy ha

K

és

L

megfelelő számok, akkor

\bar{K L K}

is megfelelő szám, például a

K = 9801

L = 98901

számokból így a

9 801 989 019 801

számot kapjuk, tehát a

K = 98 ... 01

alakban a pontok helyén más is állhat, mint csupa kilences.