Feladat: Gy.2015 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: könnyű
Füzet: 1983/november, 133. oldal  PDF file
Témakör(ök): Számjegyekkel kapcsolatos feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1981/december: Gy.2015

Keressünk olyan, a tízes számrendszerben felírt számot, amely 9-szer akkora, mint az a szám, amelyet úgy kapunk, hogy a jegyeit fordított sorrendben olvassuk.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a keresett számot K-val, a fordítottját F-fel. A triviális K=0 megoldástól eltekintve K első jegye nem lehet 0, így sem F, sem K=9F utolsó jegye nem lehet 0. Jelöljük K szám jegyeinek a számát n-nel, akkor

10n-1K=9F10n-1
miatt F nem lehet nagyobb annál az n jegyű számnál, amelyiknek minden számjegye egyes. Tehát F első számjegye 1 és K első számjegye 9, vagyis K=9...1, F=1...9. Vizsgáljuk meg, mi lehet F második számjegye.
Mivel F11...1, F második számjegye vagy 1 vagy 0. Ha F=11...9, K=9...11 volna, K=9F miatt K második jegye csak 7 lehetne, viszont K=97...11<9F. Ha F=10...9, K=9...01, akkor K második jegye csak 8 lehet: F=10...89, K=98...01. Könnyen észrevehetjük, hogy a K=9801, F=1089 számokra teljesül K=9F, tehát K értéke lehet 9801.
 

Megjegyzések. 1. További megoldásokat keresve azt kell megvizsgálnunk, hogy milyen k-ra teljesül az
98k01¯=910f89¯
összefüggés, ahol f a k fordítottját; a felső vonal pedig a számjegyek összekapcsolását jelöli. Ebből némi számolással
9f-k=8(10n-4-1)
feltételt kapjuk, aminek például a csupa 9 számjeggyel felírt számok mindig eleget tesznek. Ez azt jelenti, hogy a K=98...01 alakban a pontok helyére tetszőleges számú kilencest írva mindig megfelelő számot kapunk.
2. Belátható az is, hogy ha K és L megfelelő számok, akkor KLK¯ is megfelelő szám, például a K=9801, L=98901 számokból így a 9801989019801 számot kapjuk, tehát a K=98...01 alakban a pontok helyén más is állhat, mint csupa kilences.