Kezdőlap


Feladat:	Gy.1978	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1981/december, 215. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül sokszögekben, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1981/április: Gy.1978

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyenek az érintősokszög csúcsai $A_{1}$ , $A_{2}$ , $...$ , $A_{n}$ ; a húrsokszög csúcsai az $B_{1}$ , $B_{2}$ , $...$ , $B_{n}$ ; az érintősokszög beírt körének egy tetszőleges pontja $P$ . Jelölje $P$ távolságát $A_{1} A_{2}$ -től $a_{1}$ , $A_{2} A_{3}$ -tól $a_{2}$ , $...$ , $A_{n} A_{1}$ -től $a_{n}$ ; $B_{1} B_{2}$ -től $b_{1}$ , $B_{2} B_{3}$ -tól $b_{2}$ , $...$ , $B_{n} B_{1}$ -től $b_{n}$ (1. ábra).

Az 1971. gyakorlat szerint (megoldása megtalálható ebben a számunkban a 211. oldalon) a kör egy tetszőleges pontjára a kör két érintőjétől mért távolságok mértani közepe egyenlő e pontnak a két érintési pontot összekötő egyenestől mért távolságával. Emiatt

\sqrt[]{a_{1} a_{2}} = b_{1}

\sqrt[]{a_{2} a_{3}} = b_{2}

...

\sqrt[]{a_{n} a_{1}} = b_{n}

. Ezekből pedig

\begin{matrix} a_{1} a_{2} ... a_{n} = b_{1} b_{2} ... b_{n} \end{matrix}

következik, mivel

a_{1}

a_{2}

...

a_{n}

nem negatív mennyiségek. Az állítást ezzel igazoltuk. (L. L.)