Mivel $p_1=2$ és $p_2=3$, ezért ha $n\ge 3$, akkor $1+p_1{p}_2\text{...}{p}_n$ 2-vel és 3-mal osztva 1-et ad maradékul, így minden prímosztója legalább 5.
Tegyük fel a feladat állításával ellentétben, hogy a sorozat $n$-edik eleme 5. Ekkor $1+p_1{p}_2\text{...}{p}_{n-1}$ legnagyobb prímosztója 5, így ennek a számnak 5-től különböző prímtényezője nem lehet. Ez azt jelenti, hogy $1+p_n\text{...}{p}_{n-1}$ az 5 hatványa. Ha ez éppen $5^k$, akkor