Feladat: Gy.1958 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Borbás A. ,  Buda Katalin ,  Böröczky L. ,  Csordás Á. ,  Csutora Mária ,  Drávucz Mariann ,  Erdős L. ,  Fáth G. ,  Fodor Gy. ,  Gulyás Éva ,  Gyulánszki Zs. ,  Hajós Zsuzsanna ,  Horváth P. ,  Jedlovszky P. ,  Katona Gy. ,  Kerner Anna ,  Kertész Á. ,  Készó L. ,  Komorowicz J. ,  Kovordányi M. ,  Magyar Á. ,  Megyesi G. ,  Mócsy M. ,  Orbán Katalin ,  Petró Edit ,  Pongrácz I. ,  Poór I. ,  Sikorszki Erzsébet ,  Szabó T. ,  Takács Z. ,  Temesvári T. ,  Tóth B. ,  Újlaki T. ,  Velkey F. ,  Zankó Viktória 
Füzet: 1981/október, 69 - 70. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Logikai feladatok, Gyakorlat, Számelrendezések
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1981/február: Gy.1958

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük az ABC kezdő betűivel az 1. ábra szerint a táblázat mezőit, és rendezzük át a mezőket a 2. ábra szerint.

 
1. ábra
 
2. ábra

A javasolt átrendezés szerint három mezőnek akkor és csakis akkor van meg a feladatban mondott tulajdonsága, ha az átrendezés után vagy egy sorba vagy egy oszlopba kerülnek. (Ezt az összes lehetséges eset sorravételével ellenőrizhetjük.) Emiatt pontosan annyi táblázat készíthető a feladat követelményei szerint, ahányféleképpen egy 3×3-as táblázatba beírhatjuk 1-től 9-ig a számokat úgy, hogy a számok összege minden sorban és oszlopban 15 legyen. Ezeket az utóbbi táblázatokat számoljuk össze.
Helyezzük el először a táblázatban az 1-et. Mivel a rendelkezésre álló számok közül az 1-et csak 9+5 vagy 8+6 egészíti ki 15-re, pontosan ez a két-két szám kerülhet az 1-gyel egy sorba vagy oszlopba. Közülük mondjuk az 5-nek a helyét még szabadon választhatjuk meg a rendelkezésre álló négy hely közül, ezután a 9 már csak az 1 és 5 mellé kerülhet. A 6 helyét ismét szabadon választhatjuk a fennmaradó két hely közül és a 8 helye már egyértelmű.
Eddig tehát 9⋅4⋅2=72-féleképpen tudtuk a táblázat kitöltését elkezdeni. Megmutatjuk, hogy ezek mindegyike egyértelműen fejezhető be. Négy szabad hely maradt, és ezekre a 2, 3, 4, 7 számokat kell tennünk. Közülük a már elhelyezett 5, 6, 8, 9 számokat rendre 3+7,  2+7,  3+4,  2+4 egészíti ki 15-re. Tehát mindegyik még fel nem használt szám pontosan két felbontásban szerepel. Emiatt az 5 és 6 sorának és oszlopának a közös eleme csak 7, az 5 és 8 sorának és oszlopának a közös eleme csak 3, a 9 és 6 sorának és oszlopának a közös eleme csak 2, a 9 és 8 sorának és oszlopának közös eleme csak 4 lehet. Mivel így az 5, 6, 8, 9 mellé éppen az őket 15-re kiegészítő számok kerülnek, a kapott táblázatok mind megfelelőek.
Összesen tehát 72 megfelelő táblázat van.
 
Megjegyzés. Könnyen belátható, hogy az
A=1,B=2,C=3,D=4,E=5,F=6,G=7,H=8,I=9
táblázatnak (3. ábra) megvan a kívánt tulajdonsága.
 

3. ábra
 

Az is nyilvánvaló, hogy ha ebben a sorok, oszlopok sorrendjét megváltoztatjuk, vagy a sorok és oszlopok szerepét felcseréljük, további jó táblázatokat kapunk. Mivel így 6⋅6⋅2 táblázatot kapunk, megoldásunk szerint meg is kapjuk az összes táblázatot. Akik azonban ezt az utat választották, azoknak még külön be kellett látniuk, hogy további lehetőség nincs.