Feladat: Gy.1958 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Borbás A. ,  Buda Katalin ,  Böröczky L. ,  Csordás Á. ,  Csutora Mária ,  Drávucz Mariann ,  Erdős L. ,  Fáth G. ,  Fodor Gy. ,  Gulyás Éva ,  Gyulánszki Zs. ,  Hajós Zsuzsanna ,  Horváth P. ,  Jedlovszky P. ,  Katona Gy. ,  Kerner Anna ,  Kertész Á. ,  Készó L. ,  Komorowicz J. ,  Kovordányi M. ,  Magyar Á. ,  Megyesi G. ,  Mócsy M. ,  Orbán Katalin ,  Petró Edit ,  Pongrácz I. ,  Poór I. ,  Sikorszki Erzsébet ,  Szabó T. ,  Takács Z. ,  Temesvári T. ,  Tóth B. ,  Újlaki T. ,  Velkey F. ,  Zankó Viktória 
Füzet: 1981/október, 69 - 70. oldal  PDF file
Témakör(ök): Logikai feladatok, Gyakorlat, Számelrendezések
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1981/február: Gy.1958

Egy 3×3-as táblázatba beírtuk 1-től 9-ig a természetes számokat. Tudjuk, hogy akárhogyan választunk ki három számot, melyek közül semelyik kettő nincs egy sorban, illetve oszlopban, az összegük mindig 15. Hány ilyen táblázat van?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük az ABC kezdő betűivel az 1. ábra szerint a táblázat mezőit, és rendezzük át a mezőket a 2. ábra szerint.

 
1. ábra
 
2. ábra

A javasolt átrendezés szerint három mezőnek akkor és csakis akkor van meg a feladatban mondott tulajdonsága, ha az átrendezés után vagy egy sorba vagy egy oszlopba kerülnek. (Ezt az összes lehetséges eset sorravételével ellenőrizhetjük.) Emiatt pontosan annyi táblázat készíthető a feladat követelményei szerint, ahányféleképpen egy 3×3-as táblázatba beírhatjuk 1-től 9-ig a számokat úgy, hogy a számok összege minden sorban és oszlopban 15 legyen. Ezeket az utóbbi táblázatokat számoljuk össze.
Helyezzük el először a táblázatban az 1-et. Mivel a rendelkezésre álló számok közül az 1-et csak 9+5 vagy 8+6 egészíti ki 15-re, pontosan ez a két-két szám kerülhet az 1-gyel egy sorba vagy oszlopba. Közülük mondjuk az 5-nek a helyét még szabadon választhatjuk meg a rendelkezésre álló négy hely közül, ezután a 9 már csak az 1 és 5 mellé kerülhet. A 6 helyét ismét szabadon választhatjuk a fennmaradó két hely közül és a 8 helye már egyértelmű.
Eddig tehát 942=72-féleképpen tudtuk a táblázat kitöltését elkezdeni. Megmutatjuk, hogy ezek mindegyike egyértelműen fejezhető be. Négy szabad hely maradt, és ezekre a 2, 3, 4, 7 számokat kell tennünk. Közülük a már elhelyezett 5, 6, 8, 9 számokat rendre 3+72+7,  3+4,  2+4 egészíti ki 15-re. Tehát mindegyik még fel nem használt szám pontosan két felbontásban szerepel. Emiatt az 5 és 6 sorának és oszlopának a közös eleme csak 7, az 5 és 8 sorának és oszlopának a közös eleme csak 3, a 9 és 6 sorának és oszlopának a közös eleme csak 2, a 9 és 8 sorának és oszlopának közös eleme csak 4 lehet. Mivel így az 5, 6, 8, 9 mellé éppen az őket 15-re kiegészítő számok kerülnek, a kapott táblázatok mind megfelelőek.
Összesen tehát 72 megfelelő táblázat van.
 
Megjegyzés. Könnyen belátható, hogy az
A=1,B=2,C=3,D=4,E=5,F=6,G=7,H=8,I=9
táblázatnak (3. ábra) megvan a kívánt tulajdonsága.
 

3. ábra
 

Az is nyilvánvaló, hogy ha ebben a sorok, oszlopok sorrendjét megváltoztatjuk, vagy a sorok és oszlopok szerepét felcseréljük, további jó táblázatokat kapunk. Mivel így 662 táblázatot kapunk, megoldásunk szerint meg is kapjuk az összes táblázatot. Akik azonban ezt az utat választották, azoknak még külön be kellett látniuk, hogy további lehetőség nincs.