Kezdőlap


Feladat:	Gy.1954	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Hetyei Judit
Füzet:	1981/szeptember, 18 - 19. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Gyakorlat, Háromszög nevezetes körei, Középpontos és egyéb hasonlósági transzformációk
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1981/január: Gy.1954

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük az $A B C$ háromszög beírt körét $k_{1}$ -gyel, a $B C$ oldalához hozzáírt körét $k_{2}$ -vel, a körök sugarait pedig $r_{1}$ -gyel, illetve $r_{2}$ -vel.

Először azt bizonyítjuk, hogy az

A E_{2}

és

E_{1} O_{1}

egyenesek a beírt körön metszik egymást. Az

A

O_{1}

O_{2}

pontok egy egyenesen, a

B A C ∢

szögfelezőjén vannak. Az

A

pont a

k_{1}

k_{2}

körök külső hasonlósági pontja. Az

A

középpontú,

λ = r_{1} / r_{2}

arányú kicsinyítéssel

O_{2}

O_{1}

-be, a

k_{2}

kör a

k_{1}

körbe, a

k_{2}

kör

E_{2}

-beli érintője,

B C

, a

k_{1}

kör

E'_{2}

-beli érintőjébe,

B' C'

-be megy át (1. ábra). Mivel

B' C'

párhuzamos

B C

-vel, így a beírt kört e két egyenes egy átmérő két végpontjában érinti, ezért az

E_{1}

O_{1}

E_{2}'

pontok egy egyenesen vannak. Az

A

E_{2}

E'_{2}

is egy egyenesen vannak, mivel az

A

középpontú kicsinyítésben

E_{2}^{'}

E_{2}

megfelelője. A két egyenes közös pontja,

E'_{2}

tehát illeszkedik a

k_{1}

körre.
Ezek után rátérünk annak bizonyítására, hogy az

F O_{2}

és

E_{1} A

egyenesek párhuzamosak. Először is azt látjuk be, hogy

C E_{1} = B E_{2}

. A

k_{1}

és

k_{2}

körök közös külső érintőin levő érintési pontok legyenek

P

Q

R

S

. Külső pontból a körhöz húzott érintőszakaszok egyenlősége folytán

B E_{2} = B R = x

C E_{1} = C Q = y

A Q = A P = z

, továbbá

B E_{1} = B P = w + x

és

C E_{2} = C S = w + y

, ahol

w = E_{1} E_{2}

. Végül

A R = A S

alapján

z + w + 2 x = z + w + 2 y

, ahonnan

x = y

adódik. Így

F

nemcsak a

B C

, hanem az

E_{1} E_{2}

szakasznak is felezőpontja. Legyen

E'_{1}

az a pont, amelynek képe az előbbi

A

középpontú kicsinyítésben

E_{1}

. Az

E'_{1} E_{1} E_{2}

háromszögben

F O_{2}

középvonal, mivel

E'_{1} E_{2}

k_{2}

kör átmérője.

F O_{2}

tehát párhuzamos

E_{1} E'_{1}

-vel, így

A E_{1}

-gyel is.
Egyenlő szárú háromszög esetén, ha

A B = A C

, akkor az

F O_{2}

E_{1} A

A E_{2}

E_{l} O_{1}

egyenesek egybeesnek, mivel ekkor a

B A C ∢

szögfelezője merőlegesen felezi a

B C

oldalt. Az állítás erre az esetre módosításra szorul, mivel egybeeső egyenesekre nem mondjuk sem azt, hogy párhuzamosak, sem azt, hogy metszik egymást.

Helyei Judit (Pécs, Bánki Donát u.-i Ált. Isk., 8. o. t.)
dolgozata alapján