Feladat: Gy.1952 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Tigelmann Péter 
Füzet: 1981/október, 67. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Egyenlőtlenségek, Ponthalmazok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1981/január: Gy.1952

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük az intervallumok egyesítését A-val, és nevezzük az intervallumok hosszának összegét A hosszának. Toljuk el A-t pozitív irányban 0,1-del. Ha B jelöli az eltolt halmazt, akkor egyrészt A és B hossza egyenlő, másrészt a feltétel épp azt jelenti, hogy A-nak és B-nek nincs közös pontja.
A két halmaz egyesítése ugyanakkor benne van a [0;1,1] intervallumban, így A hossza valóban legfeljebb 1,1/2=0,55.
 
Megjegyzés. A fenti gondolatmenet csekély módosításával kiderül, hogy A hossza még 0,55 sem lehet.
Ha a [0;1] intervallum egy 0,1 hosszúságú részintervallumának A-hoz tartozó pontjait toljuk el 0,1-del pozitív irányba, akkor az eltolt halmazban sincs A-beli pont. Így egy 0,2 hosszúságú intervallum bal oldali felének A-hoz tartozó része az intervallum jobb oldali felének A-beli pontot nem tartalmazó részébe tolható. Ebből következik, hogy bármely 0,2 hosszúságú intervallumnak legfeljebb 0,1 hosszúságú része tartozhat A-hoz.
Ha a [0;1] intervallumot 5, közös pont nélküli, 0,2 hosszúságú intervallumra osztjuk, akkor a fentiek szerint A hossza legfeljebb 5⋅0,1=0,5. Könnyen látható, hogy ez a becslés már nem javítható tovább. Ha ugyanis A az alábbi öt intervallumból áll: [0;0,1); [0,2;0,3), [0,4;0,5); [0,6;0,7); [0,8;0,9), akkor a feltétel nyilván teljesül és A hossza éppen 0,5. (C. A.)
 

 Tigelman Péter (Dombóvár, Gőgös I. Gimn., II. o. t.)