A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Jelöljük az intervallumok egyesítését -val, és nevezzük az intervallumok hosszának összegét hosszának. Toljuk el -t pozitív irányban -del. Ha jelöli az eltolt halmazt, akkor egyrészt és hossza egyenlő, másrészt a feltétel épp azt jelenti, hogy -nak és -nek nincs közös pontja. A két halmaz egyesítése ugyanakkor benne van a intervallumban, így hossza valóban legfeljebb .
Megjegyzés. A fenti gondolatmenet csekély módosításával kiderül, hogy hossza még sem lehet. Ha a intervallum egy hosszúságú részintervallumának -hoz tartozó pontjait toljuk el -del pozitív irányba, akkor az eltolt halmazban sincs -beli pont. Így egy hosszúságú intervallum bal oldali felének -hoz tartozó része az intervallum jobb oldali felének -beli pontot nem tartalmazó részébe tolható. Ebből következik, hogy bármely hosszúságú intervallumnak legfeljebb hosszúságú része tartozhat -hoz. Ha a intervallumot , közös pont nélküli, hosszúságú intervallumra osztjuk, akkor a fentiek szerint hossza legfeljebb . Könnyen látható, hogy ez a becslés már nem javítható tovább. Ha ugyanis az alábbi öt intervallumból áll: ; , ; ; , akkor a feltétel nyilván teljesül és hossza éppen . (C. A.)
Tigelman Péter (Dombóvár, Gőgös I. Gimn., II. o. t.) |