Feladat: Gy.1949 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Alberi G. ,  Almási Cs. ,  Balázs Z. ,  Bodár Á. ,  Böröczky K. ,  Böröczky L. ,  Csúri Piroska ,  Ditrich P. ,  Dudás Katalin ,  Erdős L. ,  Fabinyi G. ,  Fekete Zs. ,  Fonyó L. ,  Hauk Gabriella ,  Hetyei Judit ,  Hitre Erika ,  Ittzés A. ,  Károlyi Gy. ,  Kiss I. ,  Kiss P. ,  Kocsis Csilla ,  Makra Zsuzsa ,  Mohay T. ,  Nagy R. ,  Németh Á. ,  Papp G. ,  Párkányi I. ,  Seregdy T. ,  Szabó E. ,  Tóth G. ,  Vadvári T. ,  Weisz F. ,  Zieger B. ,  Zoltai L. 
Füzet: 1981/május, 207 - 208. oldal  PDF file
Témakör(ök): Mértani helyek, Húrnégyszögek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1980/december: Gy.1949

Legyen adva egy ABC háromszög. Az AB oldalon mozog egy P pont. P-ből párhuzamost húzunk BC-vel és AC-vel. Az első az AC oldalt A'-ben, a második a BC oldalt a B'-ben metszi. Keressük meg az AA'P és BB'P háromszögek köré írt k1 és k2 körök második M metszéspontjának mértani helyét.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha γ=ACB=90, akkor az AP, ill. PB szakasz a k1, k2 körnek átmérője PA'||BC, PB'||AC miatt. A két körnek tehát nincsen második metszéspontja (1. ábra).

 

1. ábra
 

A továbbiakban elég azt a két esetet vizsgálni, amikor γ<90, ill. γ>90.
Ha γ<90, akkor nyilván az AA'P és a BB'P is kisebb 90-nál, s ezért a k1, k2 körök O1, ill. O2 középpontja az AB egyenesnek a C-t tartalmazó partjára esik (2. ábra).
 

2. ábra
 

M is ugyanazon partján van az AB-nek, mint C, hiszen O1O2 merőlegesen felezi a PM szakaszt. Így
AMP=AA'PésPMB=PB'B
egy íven nyugvó kerületi szögek. Az egyenlőség jobb oldalán álló szögek egyállásúak γ-val, és így egyenlők. Ebből AMB=2γ. M tehát azon a köríven van, melynek pontjaiból az AB szakasz 2γ szög alatt látszik és AB-nek ugyanazon partján fekszik, mint C.
Ha γ tompaszög, akkor M az AB-nek ellenkező partján van, mint C (3. ábra).
 

3. ábra
 

Most mivel az AA'PM, ill. BB'PM húrnégyszögben AMP=BMP=180-γ, M azon a köríven van, melyből az AB oldal 360-2γ szögben látszik. Természetesen az A, B végpontok egyik esetben sem tartoznak a mértani helyhez.
Mindkét esetben az i körív minden belső pontja a mértani helyhez tartozik. Legyen ugyanis M egy tetszőleges pontja i-nek. Messe az AMB szögfelezője az AB-t P-ben. P-ből kiindulva szerkesszük meg A',B'-t. Ekkor vagy AMP=AA'P és BMP=BB'P; vagy AA'P+AMP=BB'P+BMP=180 és ezért M, A, A', P, ill. M, B, B', P mindig egy-egy körön vannak, s a két körnek valóban M a közös pontja.
 

Csúri Piroska (Szeged, JATE Ságvári E. Gyak. Gimn., II. o. t.)