Feladat:	Gy.1936	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1981/április, 161 - 162. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Irracionális egyenlőtlenségek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1980/november: Gy.1936

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{a_1}+\frac{1}{a_2}+\text{...}+\frac{1}{a_{1980}}\mathrm{.}}\end{array}$ (1) Megoldás. Mivel $\sqrt[]{n}$ semmilyen egész $k$-ra nem egyenlő $\left(k+\frac{1}{2}\right)$-del, így $a_n$ értelmezése egyértelmű. Vizsgáljuk meg, hogy adott pozitív egész $k$ esetén mikor lesz $a_n=k$. Ez az $a_n$ értelmezése és a fentiek szerint pontosan akkor teljesül, ha $\begin{array}{c}{\displaystyle k-\frac{1}{2}<\sqrt[]{n}<k+\frac{1}{2}\mathrm{.}}\end{array}$ Mivel itt pozitív mennyiségek szerepelnek, négyzetre emelve őket, köztük az egyenlőtlenség iránya változatlan marad $\begin{array}{c}{\displaystyle k^2-k+\frac{1}{4}<n<k^2+k+\frac{1}{4}\mathrm{.}}\end{array}$ (2) Figyelembe véve, hogy $n$ és $k$ egészek, (2) pontosan akkor teljesül, ha $\begin{array}{c}{\displaystyle k^2-k<n\le k^2+k\mathrm{.}}\end{array}$ (3) A kapott egyenlőtlenség $k^2+k-\left(k^2-k\right)=2k$ darab egész számra teljesül, így az $a_n$ szorzatban a $k$ szám pontosan $2k$-szor fordul elő. Mivel $1980$ éppen $k^2+k$ alakú szám $\left(k=44\right)$, ha $1\le k\le 44$, akkor $\frac{1}{k}$ pontosan $2k$-szor szerepel az (1) összeg tagjai között, további tagok pedig nincsenek. Az összeg értéke emiatt $44\cdot 2=88$.