Feladat: Gy.1936 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1981/április, 161 - 162. oldal  PDF file
Témakör(ök): Irracionális egyenlőtlenségek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1980/november: Gy.1936

Jelölje an a n-hez legközelebb eső egész számot. Mennyi az alábbi összeg értéke ?
1a1+1a2+...+1a1980.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1a1+1a2+...+1a1980.(1)

Megoldás. Mivel n semmilyen egész k-ra nem egyenlő (k+12)-del, így an értelmezése egyértelmű. Vizsgáljuk meg, hogy adott pozitív egész k esetén mikor lesz an=k. Ez az an értelmezése és a fentiek szerint pontosan akkor teljesül, ha
k-12<n<k+12.
Mivel itt pozitív mennyiségek szerepelnek, négyzetre emelve őket, köztük az egyenlőtlenség iránya változatlan marad
k2-k+14<n<k2+k+14.(2)

Figyelembe véve, hogy n és k egészek, (2) pontosan akkor teljesül, ha
k2-k<nk2+k.(3)

A kapott egyenlőtlenség k2+k-(k2-k)=2k darab egész számra teljesül, így az an szorzatban a k szám pontosan 2k-szor fordul elő.
Mivel 1980 éppen k2+k alakú szám (k=44), ha 1k44, akkor 1k pontosan 2k-szor szerepel az (1) összeg tagjai között, további tagok pedig nincsenek.
Az összeg értéke emiatt 442=88.