Feladat: Gy.1890 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bede Zsuzsa ,  Benkő Erzsébet ,  Béres G. ,  Bogye G. ,  Brenyó M. ,  Csonka Edit ,  Csúri Piroska ,  Danyi P. ,  Drávucz Marianna ,  Hartwig J. ,  Hetyei G. ,  Katona Gy. ,  Mátyás Marietta ,  Mile Gabriella ,  Mile Ibolya ,  Miszori I. ,  Nyikes P. ,  Oravecz Zs. ,  Peták T. ,  Preier Judit ,  Riesz F. ,  Ruff P. ,  Südi Enikő ,  Szekeres G. ,  Szigetvári Zs. ,  Szirmai J. ,  Tóth G. ,  Törőcsik J. ,  Veszelka Magdolna 
Füzet: 1980/november, 141 - 142. oldal  PDF file
Témakör(ök): Egyenes, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1980/február: Gy.1890

Legyen g az AB szakaszra merőleges egyenes. g-nek egy tetszőleges P pontját kössük össze A-val és B-vel. Állítsunk merőlegest A-ban PA-ra, B-ben PB-re. Mi a merőlegesek metszéspontjainak mértani helye, ha P végigfut a g egyenesen?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a merőlegesek metszéspontját Q-val, az AB szakasz felezőpontját F-fel, az ABP háromszög magasságpontját M-mel. Mivel gAB, M a g egyenesen van, AMPB és QBPB, ugyanígy BMPA és QAPA, azaz AMBQ négyszög paralelogramma, és ezért Q az M-nek F-re vonatkozó tükörképe.

 
 

A g egyenes minden pontjához tartozik egy PAB háromszög és egy M magasságpont, kivéve ha P az AB szakasznak pontja, ekkor azonban az A-ban PA-ra és a B-ben PB-re emelt merőlegesek egymással párhuzamosak, s így nem jön létre a Q pont sem. Ha tehát P és vele együtt M befutja a g egyenest, akkor Q azon a q egyenesen fut végig, amely g-nek az F pontra vonatkozó tükörképe.
Fordítva, ha a q egyenesnek vesszük egy tetszőleges Q pontját, amely nincs rajta az AB szakaszon, és ezt tükrözzük F-re, a g egyenesen kapunk egy M pontot. Ehhez kell a g egyenesen olyan P pontot találnunk, hogy PAQA, ill. PBQB is teljesüljön. Ez pedig mindig lehetséges, hiszen egy oldal és a magasságpont egyértelműen meghatározza a háromszöget.
Ha g egyenes egybeesik az AB szakasz felező merőlegesével, akkor F-re vonatkozó tükörképe önmaga. Ha viszont g illeszkedik A-ra (vagy B-re), a PAB derékszögű háromszögek mindegyikének magasságpontja az A pont (vagy a B pont), s ennek F-re vonatkozó tükörképe a B (vagy A). Ekkor a mértani hely egy pont.
Összegezve: a keresett pontok mértani helye a g egyenesnek az AB felezőpontjára vonatkozó tükörképe ‐ kivéve az egyenesnek az AB egyenesen fekvő pontját, ha g nem megy át A-n, illetve B-n ‐, különben a B, ill. A pont.