Feladat: Gy.1843 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1980/február, 67 - 68. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Alakzatba írt kör, Beírt alakzatok, Tengelyes tükrözés, Derékszögű háromszögek geometriája, Terület, felszín, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1979/május: Gy.1843

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük az átmérő végpontjait P, Q-val, a négyzet csúcsait A, B, C, D-vel, és AD legyen a PQ-n levő, azzal megegyező irányítású oldal. Tükrözzük a négyzetet PQ-ra, kapjuk B, C tükörképeként a B', C' csúcsokat. A BCC' háromszög területe fele a BCC'B' téglalap területének, ami viszont ABCD területének kétszerese. Így a BCC' háromszög BC' átfogóját a kör O középpontja körül PQ-ba forgatva, C épp a feladatban szereplő háromszög R csúcsába kerül, és ebben RQ kétszerese RP-nek csakúgy, mint CC' a CB-nek.

 
 

Jelöljük a PQR háromszög kerületének felét s-sel, a beírt kör PQ-n levő pontját A*-gal. Azt kell megmutatnunk, hogy A* azonos A-val. Jelöljük még A* O-ra vonatkozó tükörképét D*-gal. Nyilván elegendő megmutatnunk, hogy A*D*=AD. Ismeretes, hogy PA*=s-RQ, QA*=s-RP, emiatt A*D*=QA*-PA*=RQ-RP=RP, hiszen RP fele RQ-nak. Azt viszont már beláttuk, hogy RP egyenlő a négyzet oldalával, a bizonyítást ezzel befejeztük.
 

Megjegyzés. A megoldás élt a feladat hallgatólagos feltevésével, hogy a szóban forgó háromszög egyértelműen meghatározott, pontosabban mondva csak az általunk megkonstruált PRQ háromszög és annak PQ felezőmerőlegesére vonatkozó tükörképe egyenlő területű a négyzettel. Ez azért van így, mert a háromszög területe és PQ átfogója már meghatározza az átfogóhoz tartozó magasságot.