Feladat: Gy.1809 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Alberti G. ,  Bálint A. ,  Barczikay Z. ,  Béres G. ,  Bíró Magdolna ,  Böröczky K. ,  Csesznák A. ,  Csikós Zs. ,  Danyi P. ,  Fehér P. ,  Fekete Tünde ,  Hatt J. ,  Hetyei G. ,  Ittzés A. ,  Károly Gy. ,  Kende Ágnes ,  Kerényi I. ,  Kisgergely S. ,  Léker Ildikó ,  Lugosi G. ,  Németh 253 L. ,  Pálfy Zsuzsanna ,  Puppán I. ,  Rácsai L. ,  Richolm T. ,  Scharvitzky P. ,  Sipos T. ,  Szapanidisz J. ,  Szijártó Z. ,  Szóda Zsuzsa ,  Szondy Gy. ,  TArdos G. ,  Tusnády Paula ,  Törőcsik J. ,  Újlaki T. 
Füzet: 1979/október, 70. oldal  PDF file
Témakör(ök): Számelrendezések, Logikai feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1979/január: Gy.1809

Az a, b, c, d, e, A, B, C, D, E számok mindegyike 2 vagy 3. Mi a szükséges és elegendő feltétele annak, hogy az ábra bizonyos mezőit feketére tudjuk festeni úgy, hogy az első sorban pontosan a, a másodikban pontosan b és így tovább, az utolsóban pedig pontosan e fekete mező legyen, az A, B, C, D, E számok pedig rendre az egyes oszlopokban levő fekete mezők számával legyenek egyenlőek?
 
 

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel a+b+c+d+e és A+B+C+D+E egyaránt az ábra fekete mezőinek száma, szükséges az

a+b+c+d+e=A+B+C+D+E(*)
feltétel teljesülése. Megmutatjuk, hogy ez elégséges is.
 
 

Nyilvánvaló, hogy két olyan számozás lényegében azonos, amely csak az a, b, c, d, e, illetve A, B, C, D, E sorrendjében különbözik. Ugyanis egyik a másikba az oszlopok és sorok megfelelő cseréjével átvihető. A (*) feltétel miatt az olyan sorok és oszlopok száma egyenlő, melyben 3 fekete mezőnek kell lennie. Így cserélgetéssel az összes lehetséges esetet 6 esetre vezethetjük vissza: (a,b,c,d,e)=(A,B,C,D,E)= (3, 3, 3, 3, 3), (2, 3, 3, 3, 3), (2, 2, 3, 3, 3), (2, 2, 2, 3, 3), (2, 2, 2, 2, 3), (2, 2, 2, 2, 2).
Az első könnyen előállítható például az ábrán látható módon.
Ebből a további ötre megfelelő számú diagonális helyen álló fekete mező törlésével adható példa.
Tehát a (*) feltétel szükséges és elégséges. (P. T.)