Feladat: Gy.1799 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1979/október, 68. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Számfogalom bővítése, Legnagyobb közös osztó, Legkisebb közös többszörös, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1978/december: Gy.1799

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Két pozitív egész szám akkor egyenlő, ha pontosan azok a prímhatványok osztják az egyiket, mint a másikat. Az (1) összefüggés bal oldalán álló szám akkor osztható ps-sel, ha

 


1a) a osztható ps-sel, és
1b) b vagy c osztható ps-sel.
 

A jobb oldalon álló szám pedig akkor osztható ps-sel, ha vagy (a*b) vagy (a*c) osztható ps-sel. Az első esetben a is és b is osztható ps-sel, a másodikban ez a-ról és c-ről mondható el. E kettő pedig együtt ugyanazt jelenti, mint a fenti 1a) és 1b) feltételek.
A (2) bal oldalán álló szám akkor osztható ps-sel, ha
 


2a) vagy a osztható ps-sel,
2b) vagy b is és c is osztható ps-sel.
 


A jobb oldalon álló szám ps-sel való oszthatóságához (a∘b)-nek is és (a∘c)-nek is ps-sel oszthatónak kell lennie. Ebből az első feltétel teljesüléséhez az kell, hogy vagy a, vagy b osztható legyen ps-sel. E két feltétel közül az első (a osztható ps-sel) az (a∘c) szám ps-sel való oszthatóságához is elegendő, ha azonban a és b közül csak b osztható ps-sel, akkor (a∘c) csak úgy lehet ps-sel osztható, ha c is osztható ps-sel. Ismét a 2a), 2b) feltételeket kapjuk, tehát a (2) összefüggést is igazoltuk.