Kezdőlap


Feladat:	Gy.1769	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Kóczy T. László
Füzet:	1978/október, 69. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Logaritmusos egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1978/május: Gy.1769

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az egyenlet bal oldalán álló kifejezés a valós számok körében akkor van értelmezve, ha

\begin{matrix} a) x > 2; b) \sqrt[]{x - 2} \neq 1, azaz x \neq 3; c) x^{4} - 6 x^{3} + 7 x^{2} + 9 x - 14 > 0. \end{matrix}

Ha a fenti feltételek teljesülnek, akkor egyenletünk ekvivalens a

\begin{matrix} {(\sqrt[]{x - 2})}^{8} = x^{4} - 6 x^{3} + 7 x^{2} + 9 x - 14 \end{matrix}

egyenlettel. Mivel

\begin{matrix} x^{4} - 6 x^{3} + 7 x^{2} + 9 x - 14 = (x - 2) (x^{3} - 4 x^{2} - x + 7), \end{matrix}

egyenletünket átrendezve azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} (x - 2) [{(x - 2)}^{3} - (x^{3} - 4 x^{2} - x + 7)] = (x - 2) (2 x^{2} - 13 x + 15) = 0. \end{matrix}

Az a) feltétel miatt

x - 2 > 0

, tehát az utóbbi egyenlet csak úgy állhat fenn, ha

2 x^{2} - 13 x + 15 = 0

. Ennek

1, 5

és

5

a gyöke. Az első az a) feltétel miatt nem megoldása az eredeti egyenletnek. Tehát ha van megoldás, akkor az csak az

x = 5

lehet. Mivel erre b) és c) is teljesül, ez valóban megoldás.

Kóczy T. László, Budapest