Feladat: Gy.1769 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Kóczy T. László 
Füzet: 1978/október, 69. oldal  PDF file
Témakör(ök): Logaritmusos egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1978/május: Gy.1769

Oldjuk meg a következő egyenletet:
logx-2(x4-6x3+7x2+9x-14)=8.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az egyenlet bal oldalán álló kifejezés a valós számok körében akkor van értelmezve, ha

a)x>2;b)x-21,azazx3;c)x4-6x3+7x2+9x-14>0.
Ha a fenti feltételek teljesülnek, akkor egyenletünk ekvivalens a
(x-2)8=x4-6x3+7x2+9x-14
egyenlettel. Mivel
x4-6x3+7x2+9x-14=(x-2)(x3-4x2-x+7),
egyenletünket átrendezve azt kapjuk, hogy
(x-2)[(x-2)3-(x3-4x2-x+7)]=(x-2)(2x2-13x+15)=0.
Az a) feltétel miatt x-2>0, tehát az utóbbi egyenlet csak úgy állhat fenn, ha 2x2-13x+15=0. Ennek 1,5 és 5 a gyöke. Az első az a) feltétel miatt nem megoldása az eredeti egyenletnek. Tehát ha van megoldás, akkor az csak az x=5 lehet. Mivel erre b) és c) is teljesül, ez valóban megoldás.
 

 Kóczy T. László, Budapest