|
Feladat: |
Gy.1757 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Bacsi Zsuzsanna , Bene Gy. , Bereznai M. , Bodócs P. , Csala Rita , Csirke Zs. , Czibere Gabriella , Erdélyi T. , Fordán T. , Gát Gy. , Hierholcz T. , Illés D. , Jordán J. , Juhász 665 I. , Kámán L. , Kántor Zs. , Karakas J. , Kávássy L. , Kelemen B. , Kőrösi G. , Kovács 134 I. , Kozák Ágnes , Magyar G. , Misota G. , Müller Sz. , Nagy 221 A. , Németh R. , Pálinkás I. , Pálovics R. , Pátkai A. , Pongrácz A. , Regős P. , Schwarcz P. , Seres I. , Varga Lívia , Végh G. , Vértesi L. , Winkler R. , Öreg E. Zs. |
Füzet: |
1978/november,
140 - 141. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Vetítések, Szerkesztések a térben, Szabályos sokszögek geometriája, Gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1978/március: Gy.1757 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Tekintsünk két szomszédos hatszöglapot, s jelöljük a közös élük végpontjait -val és -vel. A hozzájuk -ben csatlakozó ötszögnek a -vel szomszédos csúcsait jelöljük -vel és -vel. Bocsássunk merőlegest a hatszöglap síkjában -ből az egyenesre, és jelöljük -val az -vel való metszéspontját. Majd -ban állítsunk merőlegest a szomszédos hatszöglap síkjában az élre. E két egyenes méri a két hatszöglap síkja által bezárt szöget.
Vágjuk fel a testet a él mentén és forgassuk le az alapsíkba az így mozgathatóvá vált , ill. él mentén a csatlakozó lapokat. Így mindhárom lap valódi nagyságban látszik. A két hatszög a közös él mentén csatlakozik egymáshoz, az ötszöglap a él mentén csatlakozik az alaphatszöghöz. A ,,kettévágott'' csúcs két helyen is megjelenik, jelöljük ezeket -tal és -tel. Ebben a helyzetben síkbeli szerkesztéssel lehet kijelölni a pontnak az , illetve tengelyre eső vetületét; ezek nyilvánvalóan a , ill. vetületei, jelöljük őket rendre -val és -vel. Megfordítva, ha ebből a hálózatból újra összeállítjuk a test ezen három lapjának együttesét, vagyis fölhajtjuk a két lapot, akkor és egyenesek metszéspontjában megkapjuk az eredeti csúcsnak az alapsíkon való vetületét, -t, mert közben a pont vetülete a egyenesen közeledik a -hoz, és hasonlóan -é a egyenesen a -hez. Ennek a két egyenesnek csak egyetlen közös pontja lehet, , csak a pontban az alapsíkra állított merőlegesen egyesülhet újra a ponttá. A síkok szögét a függőleges síkbeli , illetve derékszögű háromszögekben szerkeszthetjük meg. Az első, két hatszöglap; a második, egy hatszög és egy ötszöglap síkjának szögét adja. (Síkok szögén a metszésvonaluk egy pontjában a síkokban felvett és a metszésvonalra merőleges egyenesek által bezárt szög közül a kisebbet értjük.) A mondott háromszögeknek ismerjük (valódi nagyságban, a rajzsíkon) az átfogóját, -t, ill. -t, a vízszintes befogóját, -t, ill. -t, s ezekből megszerkesztve a -nél derékszögű háromszöget, megkapjuk a keresett szögeket. Ha a térbeli pontot beforgatjuk az alapsíkba, -ben merőlegest állítunk a -ra, s ezt elmetsszük a körüli sugarú körívvel, így kapjuk -et. Hasonlóan a leforgatottja a tengely körül.
Megjegyzés. Megkaphatjuk a szóban forgó testet például úgy, hogy egy ikozaéderben vesszük az élek harmadolópontjait, ezek lesznek a mi testünk csúcsai. Ennek alapján további eljárásokat találhatunk a kérdezett szögek szerkesztésére. Ha például a téglalapban egységnyi, pedig az egységnyi oldalú szabályos ötszög átlójával egyenlő, továbbá a -hoz a másik oldalon csatlakozó téglalapban a átló hossza , és az átlók metszéspontja, akkor , . |
|