Feladat: Gy.1757 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Bacsi Zsuzsanna ,  Bene Gy. ,  Bereznai M. ,  Bodócs P. ,  Csala Rita ,  Csirke Zs. ,  Czibere Gabriella ,  Erdélyi T. ,  Fordán T. ,  Gát Gy. ,  Hierholcz T. ,  Illés D. ,  Jordán J. ,  Juhász 665 I. ,  Kámán L. ,  Kántor Zs. ,  Karakas J. ,  Kávássy L. ,  Kelemen B. ,  Kőrösi G. ,  Kovács 134 I. ,  Kozák Ágnes ,  Magyar G. ,  Misota G. ,  Müller Sz. ,  Nagy 221 A. ,  Németh R. ,  Pálinkás I. ,  Pálovics R. ,  Pátkai A. ,  Pongrácz A. ,  Regős P. ,  Schwarcz P. ,  Seres I. ,  Varga Lívia ,  Végh G. ,  Vértesi L. ,  Winkler R. ,  Öreg E. Zs. 
Füzet: 1978/november, 140 - 141. oldal  PDF file
Témakör(ök): Vetítések, Szerkesztések a térben, Szabályos sokszögek geometriája, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1978/március: Gy.1757

Egységnyi élhosszúságú szabályos ötszögű és hatszögű bőrdarabokból futball labdát készítünk úgy, hogy egy ötszöget öt hatszöggel rakunk körbe. Szerkesszük meg a szomszédos síkok által bezárt szögeket.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Tekintsünk két szomszédos hatszöglapot, s jelöljük a közös élük végpontjait A-val és B-vel. A hozzájuk B-ben csatlakozó ötszögnek a B-vel szomszédos csúcsait jelöljük C-vel és D-vel. Bocsássunk merőlegest a hatszöglap síkjában C-ből az AB egyenesre, és jelöljük CA-val az AB-vel való metszéspontját. Majd CA-ban állítsunk merőlegest a szomszédos hatszöglap síkjában az AB élre. E két egyenes méri a két hatszöglap síkja által bezárt szöget.

 
 

Vágjuk fel a testet a CB él mentén és forgassuk le az ABD alapsíkba az így mozgathatóvá vált AB, ill. BD él mentén a csatlakozó lapokat. Így mindhárom lap valódi nagyságban látszik. A két hatszög a közös AB él mentén csatlakozik egymáshoz, az ötszöglap a BD él mentén csatlakozik az alaphatszöghöz. A ,,kettévágott'' C csúcs két helyen is megjelenik, jelöljük ezeket C6-tal és C5-tel. Ebben a helyzetben síkbeli szerkesztéssel lehet kijelölni a C pontnak az AB, illetve BD tengelyre eső vetületét; ezek nyilvánvalóan a C6, ill. C5 vetületei, jelöljük őket rendre CA-val és CD-vel.
Megfordítva, ha ebből a hálózatból újra összeállítjuk a test ezen három lapjának együttesét, vagyis fölhajtjuk a két lapot, akkor C6CA és C5CD egyenesek metszéspontjában megkapjuk az eredeti C csúcsnak az alapsíkon való vetületét, C'-t, mert közben a C6 pont vetülete a C6CA egyenesen közeledik a CA-hoz, és hasonlóan C5-é a C5CD egyenesen a CD-hez. Ennek a két egyenesnek csak egyetlen közös pontja lehet, C6, C5 csak a C' pontban az alapsíkra állított merőlegesen egyesülhet újra a C ponttá.
A síkok szögét a függőleges síkbeli CCAC', illetve CCDC' derékszögű háromszögekben szerkeszthetjük meg. Az első, α két hatszöglap; a második, β egy hatszög és egy ötszöglap síkjának szögét adja. (Síkok szögén a metszésvonaluk egy pontjában a síkokban felvett és a metszésvonalra merőleges egyenesek által bezárt szög közül a kisebbet értjük.) A mondott háromszögeknek ismerjük (valódi nagyságban, a rajzsíkon) az átfogóját, C6CA-t, ill. C5CD-t, a vízszintes befogóját, C'CA-t, ill. C'CD-t, s ezekből megszerkesztve a C'-nél derékszögű háromszöget, megkapjuk a keresett szögeket.
Ha a térbeli C pontot beforgatjuk az alapsíkba, C'-ben merőlegest állítunk a C'C6-ra, s ezt elmetsszük a CA körüli CAC6 sugarú körívvel, így kapjuk C'6-et. Hasonlóan C'5 a C leforgatottja a C'CD tengely körül.
 
 

Megjegyzés. Megkaphatjuk a szóban forgó testet például úgy, hogy egy ikozaéderben vesszük az élek harmadolópontjait, ezek lesznek a mi testünk csúcsai. Ennek alapján további eljárásokat találhatunk a kérdezett szögek szerkesztésére. Ha például a PQRS téglalapban PS egységnyi, PQ pedig az egységnyi oldalú szabályos ötszög átlójával egyenlő, továbbá a PQ-hoz a másik oldalon csatlakozó PQUV téglalapban a PU átló hossza 3, és T az átlók metszéspontja, akkor α=QTU, β=PTS.