Kezdőlap


Feladat:	Gy.1713	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Alberti G. , Bokros Ilona , Csikós Zs. , Danyi P. , Elek G. , Fekete 418 Z. , Havasi Katalin , Heckenast L. , Hetyei G. , Kalmár L. , Károlyi Gy. , Kerényi I. , Kovács 311 G. , Kovács 818 T. , Kunsági M. , Lelkes A. , Litványi P. , Magyar G. , Matavovszky Gy. , Mészáros G. , Mészáros J. , Pátkai Beatrix , Puppán I. , Quittner G. , Récsán Zsuzsa , Simonyi G. , Szántó J. , Szekerka A. , TArdos G. , Udvari A. , Villányi Z. , Záhonyi Zs. , Zelei Gy.
Füzet:	1978/február, 72. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Maradékos osztás, Oszthatósági feladatok, Prímszámok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1977/október: Gy.1713

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha $p$ és $q$ $3$ -nál nagyobb ikerprímek, akkor a köztük levő egyetlen egész szám páros és osztható $3$ -mal, tehát $6$ -tal is osztható. Ezért $p$ és $q$ közül a nagyobbik $6$ -tal osztva $1$ , a kisebb $- 1$ maradékot ad. Ezeket a számokat tehát $6 k + 1$ , illetve $6 k - 1$ alakban írhatjuk, ahol $k$ egy megfelelő egész számot jelöl. Hasonlóan $r$ és $s$ egyike $6 n + 1$ , másika $6 n - 1$ alakban írható, valamilyen $n$ egész számmal.
A $p$ és $r$ számok $6$ -tal osztva vagy mindketten ugyanazt a maradékot adják, vagy nem. Elég ezért a $p r - q s$ kifejezést vizsgálva az

\begin{matrix} A = (6 k + 1) (6 n + 1) - (6 k - 1) (6 n - 1), \\ B = (6 k + 1) (6 n - 1) - (6 k - 1) (6 n + 1) \end{matrix}

számokat megvizsgálni

12

-vel való oszthatóság szempontjából, hiszen a másik két lehetséges párosítás ezek

(- 1)

-szeresét adnák. A műveletek elvégzése és rendezés után kapjuk, hogy

A = 12 (k + n)

, és

B = 12 (n - k)

. Mivel

k

és

n

egész számok, eszerint

A

is,

B

is osztható

12

-vel, és ezzel a feladat állítását igazoltuk.