Feladat: Gy.1713 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Alberti G. ,  Bokros Ilona ,  Csikós Zs. ,  Danyi P. ,  Elek G. ,  Fekete 418 Z. ,  Havasi Katalin ,  Heckenast L. ,  Hetyei G. ,  Kalmár L. ,  Károlyi Gy. ,  Kerényi I. ,  Kovács 311 G. ,  Kovács 818 T. ,  Kunsági M. ,  Lelkes A. ,  Litványi P. ,  Magyar G. ,  Matavovszky Gy. ,  Mészáros G. ,  Mészáros J. ,  Pátkai Beatrix ,  Puppán I. ,  Quittner G. ,  Récsán Zsuzsa ,  Simonyi G. ,  Szántó J. ,  Szekerka A. ,  TArdos G. ,  Udvari A. ,  Villányi Z. ,  Záhonyi Zs. ,  Zelei Gy. 
Füzet: 1978/február, 72. oldal  PDF file
Témakör(ök): Maradékos osztás, Oszthatósági feladatok, Prímszámok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1977/október: Gy.1713

Bizonyítsuk be, ha p, q és r, s számpárok ikerprímek, és mindegyik nagyobb, mint 3, akkor pr-qs osztható 12-vel. (Két prím iker, ha különbségük 2.)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha p és q 3-nál nagyobb ikerprímek, akkor a köztük levő egyetlen egész szám páros és osztható 3-mal, tehát 6-tal is osztható. Ezért p és q közül a nagyobbik 6-tal osztva 1, a kisebb -1 maradékot ad. Ezeket a számokat tehát 6k+1, illetve 6k-1 alakban írhatjuk, ahol k egy megfelelő egész számot jelöl. Hasonlóan r és s egyike 6n+1, másika 6n-1 alakban írható, valamilyen n egész számmal.
A p és r számok 6-tal osztva vagy mindketten ugyanazt a maradékot adják, vagy nem. Elég ezért a pr-qs kifejezést vizsgálva az

A=(6k+1)(6n+1)-(6k-1)(6n-1),B=(6k+1)(6n-1)-(6k-1)(6n+1)


számokat megvizsgálni 12-vel való oszthatóság szempontjából, hiszen a másik két lehetséges párosítás ezek (-1)-szeresét adnák. A műveletek elvégzése és rendezés után kapjuk, hogy A=12(k+n), és B=12(n-k). Mivel k és n egész számok, eszerint A is, B is osztható 12-vel, és ezzel a feladat állítását igazoltuk.