Feladat: Gy.1682 Korcsoport: 18- Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):  Albu Ildikó ,  Boros T. ,  Fazekas G. ,  Hajnal P. ,  Kálmán J. ,  Kántor S. ,  Kátai I. ,  Kőrösi G. ,  Lakatos I. ,  Mádl F. ,  Németh R. ,  Oláh K. ,  Petre P. ,  Pintér 395 F. ,  Schwarcz P. ,  Szegedi M. ,  Szendrei Gy. ,  Varga T. ,  Veszprémi P. ,  Winkler R. 
Füzet: 1977/november, 140 - 141. oldal  PDF file
Témakör(ök): Trigonometriai azonosságok, Körülírt kör, Magasságpont, Hossz, kerület, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1977/február: Gy.1682

Igaz-e, hogy ha egy háromszög kerülete kétszer akkora, mint a magasságok talppontjai által meghatározott háromszög kerülete, akkor a háromszög szabályos ?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a háromszög csúcsait A, B, C-vel, szögeit α, β, γ-val, magasságpontját M-mel, körülírt körét k-val, és válasszuk egységnek k sugarát.

 

 

Ekkor a háromszög félkerülete, mint ismeretes
s=sinα+sinβ+sinγ.
Az is ismert, hogy M-nek az oldalakra vonatkozó tükörképei k-n vannak, tehát ennek a háromszögnek is a szögei szinuszának az összege a fél kerülete:
sM=sinαM+sinβM+sinγM,
ahol az M index a magasságpontra utal. Ha a háromszög hegyesszögű, akkor
αM=180-2α,βM=180-2β,γM=180-2γ,
ha pedig mondjuk C-nél tompaszög van, akkor
αM=2α,βM=2β,γM=2γ-180.
Így tehát mindkét esetben
sM=|sin2α|+|sin2β|+|sin2γ|,
ami akkor is helyes, ha a háromszög derékszögű. Azt kell megvizsgálnunk, hogy következik-e az sM=s feltétellel ekvivalens
sinα+sinβ+sinγ=|sin2α|+|sin2β|+|sin2γ|(1)
feltételből az, hogy α=β=γ=60?
Ha a háromszög hegyesszögű, akkor igen, hiszen
sin2α+sin2β2sin(α+β),sin2β+sin2γ2sin(β+γ),(2)sin2γ+sin2α2sin(γ+α)
miatt mindig igaz, hogy ha α+β+γ=180, akkor
sin2α+sin2β+sin2γsinα+sinβ+sinγ,
és az egyenlőség pozitív α, β, γ-ra csak α=β=γ mellett állhat fenn.
 

Ha viszont találunk (1)-nek olyan megoldását, melyben mondjuk γ>90, akkor a feladat állítása nyilván nem igaz. Olyan α, β szögeket keresünk tehát, amelyek pozitívak, összegük kisebb, mint 90, és teljesül rájuk, hogy
sinα+sinβ+sin(α+β)=sin2α+sin2β+sin(2α+2β).(3)
Használjuk fel a
sin2α+sin2β=2sin(α+β)cos(α-β)(4)
összefüggést [amiből (2) is következik]:
2sinα+β2cosα-β2+sin(α+β)=(5)=2sin(α+β)cos(α-β)+sin(2α+2β).


Rögzített (α+β) mellett ez a cosα-β2 ismeretlenre másodfokú egyenlet. Ha találunk olyan (α+β) értéket, amely mellett (5)-nek cosα-β2-re van 1 és cosα+β2 közti gyöke, megvan az ellenpélda. Nézzük meg a két oldal különbségét ezeken a helyeken. Ha cosα-β2 helyére 1-et írunk, a jobb és bal oldal különbsége
sin(2α+2β)+sin(α+β)-2sinα+β2,
ha pedig cosα+β2-t írunk a helyére, a különbség
2(sin(2α+2β)-sin(α+β)).
Ha α+β=60, ez utóbbi éppen 0, ha pedig α+β>60, akkor negatív. Az első különbség α+β=60 mellett pozitív, ha tehát α+β kicsit túllépi a 60-ot, a két különbség ellenkező előjelű: az első pozitív, a második negatív. (Könnyen látható, hogy például α+β=70 megfelel.)
A feladat állítása tehát nem igaz.
 
Megjegyzés. Ha (5)-be az α-β=0 értéket helyettesítjük, cosα+β2-re harmadfokú egyenletet kapunk. A megoldók többsége erről látta be, hogy van gyöke. Ehhez az ún. Bolzano-tételt kellett használniuk, mely szerint, ha egy zárt intervallumban folytonos függvény az intervallum elején pozitív, a végén negatív, akkor valahol az intervallum belsejében 0-val egyenlő. Nekünk ezt csak másodfokú függvényre kellett felhasználnunk, ami a függvény ismert menetéből (és a másodfokú egyenlet megoldóképletéből) következik.