|
Feladat: |
Gy.1681 |
Korcsoport: 14-15 |
Nehézségi fok: - |
Megoldó(k): |
Csikós B. , Csordás A. , Filakovszky P. , Gát Gy. , Hajnal P. , Kiss 171 Zs. , Korondi P. , Lukács Erzsébet , Marosi 961 I. , Molnár 267 T. , Molnár 338 A. , Pacher T. , Szeles J. , Varga Lívia , Varga T. , Veszprémi P. |
Füzet: |
1978/május,
204 - 205. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Középpontos és egyéb hasonlósági transzformációk, Súlypont, Háromszögek szerkesztése, Vektorok lineáris kombinációi, Helyvektorok, Gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1977/február: Gy.1681 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A feladatot mindjárt az általános alakjában oldjuk meg. Legyen tehát , , az , , szakaszoknak az a pontja, melyre | | (1) |
Jelöljük a , hányadosokat -val, -vel. Mivel , egy-egy szakasz hossza, , pozitívak, és összegük . Legyen tetszőleges pont, és jelöljük általában az -ból valamely nagy betűvel jelölt pontba mutató vektort megfelelő kis betűvel. Mivel az szakaszt arányban osztó pontra (1) ekvivalens a | | (2) | egyenletekkel. Szorozzuk meg (2)-ben az első egyenletet -val, a másodikat -vel: | | (3) | hiszen . Az itt fellépő összeg (2) szerint egyenlő -gyel, és mindkettő -val egyenlő, ha -nak súlypontját választjuk. Azt kaptuk tehát, hogy , ahol , és . Hasonlóan kapjuk , értékeit is, tehát ahol , , az -ból az , , pontokba mutató vektorok, és , , rendre a , , szakaszoknak azon pontjai, amelyekre
| | (5) | Az , , pontok alapján az , , pontok megszerkeszthetők, és ezekből (4) alapján a keresett , , pontokat az háromszög súlypontjából való arányú nagyítással kapjuk meg. Mivel , mindig nagyobb -nél, ha , , akkor . Behelyettesítéssel meggyőződhetünk róla, hogy a (4) alatti értékek kielégítik a (2) egyenleteket, ha | | (6) |
Például (3)-hoz hasonlóan | | és itt választása miatt . Így , amint azt bizonyítani akartuk. Mivel az , , pontok nincsenek egy egyenesen, az , , pontok sem lehetnek egy egyenesen. Különben tetszőleges, nem egy egyenesen levő , , ponthármashoz mindig pontosan egy megoldást kapunk.
Megjegyzés. Centrális nagyítás helyett egyszerűbben fejezhető be a szerkesztés úgy, hogy az , , pontokon át rendre párhuzamosakat húzunk a , , egyenesekkel. Ennek az eljárásnak a helyességét azonban nehezebb belátni. Sokféleképpen megoldható a feladatunk, ha már tudjuk, hogy van megfelelő háromszög. A megoldók többsége azonban adós maradt annak megmutatásával, hogy van ilyen háromszög, ami esetenként annak bizonyítását jelenti, hogy amit megszerkesztettek, az a keresett háromszög. |
|