Kezdőlap


Feladat:	Gy.1640	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1977/szeptember, 17 - 18. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Valós számok approximációja, Számsorozatok, Sokszögek szimmetriái, Szögfüggvények, síkgeometriai számítások, Szabályos sokszögek geometriája, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1976/május: Gy.1640

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyenek az adott sokszög egymás utáni csúcsai $A_{0}$ , $A_{1}$ , $...$ , $A_{399}$ , és legyen a kiszemelt $A_{0}$ csúcsból kiinduló és a követelményt kielégítő átlók egyike $A_{0} A_{n},$ ahol a tengelyes szimmetria alapján elég a $0 < n \leq 200$ indexeket tekintenünk. Erre az átlóra az $O$ középponttól mért távolság 2-szerese egyenlő $A_{200} A_{n}$ -nel, hiszen az $A_{0} A_{n} A_{200}$ látószög derékszög.

És mivel

n

-et

200

-tól

1

-ig csökkentve,

A_{0} A_{n}

monoton fogy,

A_{200} A_{n}

monoton nő, és így az

A_{0} A_{n} - A_{200} A_{n}

különbség monoton fogy, azért

n

-et abból határozhatjuk meg, hogy a

\begin{matrix} d_{k} = | A_{0} A_{k} - A_{200} A_{k} | - A_{0} O \end{matrix}

alakú eltérésekre egyaránt teljesüljön

\begin{matrix} | d_{n + 1} | \geq | d_{n} | és | d_{n - 1} | \geq | d_{n} | . \end{matrix}

Előre látjuk a kifejezés szimmetriájából, hogy ha ezek teljesülnek egy bizonyos

n

sorszámra, akkor teljesülnek a

200 - n = n'

-re is.
Keressünk előkészítésül olyan

B

pontot a körülírt

k

körön, hogy az

A_{0} B

húr és az

A_{200} B

kétszeres távolság különbségének abszolút értéke pontosan egyenlő legyen

A_{0} O

-val; ekkor

B

a sokszög valamelyik oldala által lemetszett ívre esik és a monotonság miatt

A_{n}

az oldal valamelyik végpontja lesz, vagy

B

éppen egybeesik egy csúccsal, ekkor az felel meg

A_{n}

szerepére. Követelményünk:

\begin{matrix} | A_{0} B - A_{200} B | = \frac{A_{0} A_{200}}{2}, \end{matrix}

\begin{matrix} 4 A_{0} B^{2} - 8 A_{0} B \cdot A_{200} B + 4 A_{200} B^{2} = A_{0} B^{2} + A_{200} B^{2}, \end{matrix}

tehát az

\begin{matrix} \frac{A_{0} B}{A_{200} B} = tg A_{0} A_{200} B = tg β \end{matrix}

értékre teljesül

\begin{matrix} {tg}^{2} β - \frac{8}{3} tg β + 1 = 0, tg β = \frac{4 \pm \sqrt[]{7}}{3} = {\begin{matrix} 0,4514, \\ 2,215. \end{matrix} \end{matrix}

(A két gyök szorzata 1, a hozzájuk tartozó szögek egymás pótszögei, ami lényegében azonos az

n

-ről és

n'

-ről mondottakkal.) Így

β

értékei: 65

°

42' (lekerekítve) és 24

°

18' (fölkerekítve), és

A_{0} O B ∢ = 2 β

értékei 131

°

24' és 48

°

36'.
Másrészt

A_{0} O A_{1} ∢ = ω = 360^{\circ} / 400 = 0^{\circ} 54'

és

\begin{matrix} \frac{131^{\circ} 24'}{ω} = 146 lekerekítéssel, \frac{48^{\circ} 36'}{ω} = 54 (fölkerekítéssel), \end{matrix}

ezek szerint a megfelelő

B

pontok az

A_{146} A_{147}

, ill.

A_{53} A_{54}

íven vannak, jóval közelebb pl.

A_{54}

-hez, mint

A_{53}

-hoz.
Legyen

A_{0} A_{200} = 1

, ekkor

A_{0} A_{k} = sin k \cdot (0 ° 27'), A_{200} A_{k} = cos k \cdot (0 ° 27'),

és valóban

\begin{matrix} | d_{54} | = | d_{146} | = 0, 0001, \end{matrix}

viszont

\begin{matrix} | d_{53} | = | d_{147} | = 0, 0102, | d_{55} | = | d_{145} | = 0, 0105. \end{matrix}

(Az utóbbiakat csak azért számítottuk ki, mert

B

helyzetét csak a kerekítés irányának figyelembe vételével tudtuk meghatározni.) Eszerint a keresett átlók:

A_{0} A_{54}, A_{0} A_{146}, A_{0} A_{254}

, és

A_{0} A_{346} .