Kezdőlap


Feladat:	Gy.1634	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Nagy Miklós
Füzet:	1976/december, 209 - 211. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Terület, felszín, Párhuzamos szelők tételének megfordítása, Diszkusszió, Háromszögek szerkesztése, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1976/április: Gy.1634

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az $O C D$ és az $O E F$ háromszög területét írjuk fel az ismert területképlet felhasználásával:

\begin{matrix} \frac{O E \cdot O F sin F O E ∢}{2} = \frac{O D \cdot O C sin F O E ∢}{2} . \end{matrix}

Innen

\begin{matrix} O C = \frac{O E \cdot O F}{O D} \end{matrix}

(1)

s mivel

\frac{O E}{O C} = \frac{O D}{O F}

a párhuzamos szelők megfordítása szerint

E D ∥ C E

(ezt később a szerkesztésnél felhasználjuk).

Fejezzük most ki az

O C D

és

O E F

háromszögek területeit az oldal és a megfelelő magasságok felhasználásával:

{ter.}_{O C D} = {ter.}_{O P D} + {ter.}_{O P C} = {ter.}_{O E F}

. A megfelelő magasságokat

m_{1}

m_{2}

m_{3}

-mal jelölve

\begin{matrix} O D \cdot m_{2} + O C \cdot m_{3} = O F \cdot m_{1}, \end{matrix}

ahol

m_{1}

m_{2}

m_{3}

és

O F

ismert távolságok. (1)-ből

O C

-t helyettesítve az

\begin{matrix} O D^{2} - O D \cdot O F \frac{m_{1}}{m_{2}} + O E \cdot O F \frac{m_{3}}{m_{2}} = 0, \end{matrix}

O D

-re másodfokú egyenletre jutunk. Innen

\begin{matrix} O D = \frac{1}{2} (O F \frac{m_{1}}{m_{2}} \pm \sqrt[]{O F {(\frac{m_{1}}{m_{2}})}^{2} - 4 O E \cdot O F \frac{m_{3}}{m_{2}}}) . \end{matrix}

Az így kapott távolság pedig lépésről lépésre szerkeszthető. A feladatnak általában két megoldása van. Nincs megoldás, ha

{(O F \frac{m_{1}}{m_{2}})}^{2} < 4 O E \cdot O F \frac{m_{3}}{m_{2}}

D

pont megszerkesztése után felhasználva az

E D ∥ F C

tulajdonságot, könnyen kapjuk a

C

pontot.

Nagy Miklós (Budapest, Könyves Kálmán Gimn., II. o. t.)

A szerkesztés lépéseiről:

Adott

a

b

távolságnak szerkesszük meg a szorzatát, ill. hányadosát mint szakaszokat.
A szerkesztést a párhuzamos szelők tételének felhasználásával végezzük el, az egység adott.

Ismert szerkesztés egy távolság négyzetgyökének a megszerkesztése is, melyet pl. a derékszögű háromszögre vonatkozó mértani középarányos tétellel végezhetünk el.

Megjegyzés. Feladatunk kapcsolódik a kitűzőnek ugyanazon számban megjelent cikkéhez. Az ottani I. feladatban láttuk, hogy a

P

ponthoz tartozik egy minimális lemetszett

t_{0}

terület. Így nyilvánvalóan itteni feladatunknak akkor nincs megoldása, ha az

O E F

háromszög területe kisebb, mint

t_{0}

. ‐ Ajánljuk ennek kielemzését a fenti diszkrimináns feltételből. ‐ Feladatunk 2 megoldása a cikk II. feladata szerinti kapcsolatban van egymással.

A mondott ismert I. feladat szerepelt az 1974. évi Arany Dániel kezdők versenyének I. fordulóján is (KÖMAL 49 (1974) 104. old.). Térbeli megfelelőjét P. 216. problémaként tűzte ki lapunk (1974. máj., megoldása megjelent az 1975. dec. számban), és ugyanakkor egy könnyített formáját Gy. 1533-ként (megoldása megjelent f. évi, októberi számunkban).