Kezdőlap


Feladat:	1611. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Füzet:	1976/április, 169 - 171. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Geometriai egyenlőtlenségek, Egyéb szinezési problémák, Lefedések, Síkbeli ponthalmazok távolsága, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1975/december: 1611. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel a színezéshez pontosan három színt használtunk, van két azonos színű csúcs. Ha ez két átellenes csúcs, ekkor ez a két pont eleget tesz a kívánt feltételnek, hiszen távolságuk $\sqrt[]{2} > \sqrt[]{65 / 64}$ .
Jelöljük a színeket $1$ -essel, $2$ -essel, $3$ -assal, és vizsgáljuk azt az esetet, ha két szomszédos csúcs azonos színű (pl. 1-es).

Ekkor két esetet különböztetünk meg:

a) a másik két csúcs azonos színű, pl. 2-es,
b) a másik két csúcs nem azonos színű.

a) Mérjünk fel az

1

2

oldal egyikére

1

-től

1 / 8

-adot, jelöljük ezt a pontot

A

-val.

A

1

-es színű, akkor van olyan

1

-es színű csúcs, amelytől mért távolsága

\sqrt[]{1^{2} + {(\frac{1}{8})}^{2}} = \sqrt[]{\frac{65}{64}}

. Ha

A 2

-es színű, akkor van olyan

2

-es színű csúcs, amelyiktől mért távolsága

\sqrt[]{1^{2} + {(\frac{7}{8})}^{2}} > \sqrt[]{\frac{65}{64}}

.
Maradt az az eset, ha

A 3

-as színű. Ekkor az

A

-val szemközti élre mérjünk

2 / 8

-adot

1

-től kiindulva, jelöljük ezt a pontot

B

-vel.

B

bármelyik színnel is van kiszínezve, mindig található hozzá a feltételt kielégítő szín, mert az egyik

1

-es színű csúcstól való távolsága

\sqrt[]{{(\frac{2}{8})}^{2} + 1^{2}} > \sqrt[]{\frac{65}{64}}

, az egyik

2

-es színű csúcstól

{\sqrt[]{1^{2} + (\frac{6}{8})}}^{2} > \sqrt[]{\frac{65}{64}}

, és

3

-tól pontosan

\sqrt[]{65 / 64}

távolságra van.

b) Ha a másik két csúcs különböző színű, mérjünk fel ismét

1 / 8

-adot az

1

2

és

1

3

oldalakra

1

-ből kiindulva. Jelöljük ezeket a pontokat

A

-val és

B

-vel.

A

csak akkor nem tesz eleget a feltételnek, ha

2

-es,

B

pedig akkor, ha

3

-as színű. Ezután vegyük a

2

3

oldal felezőpontját,

C

-t.

C

akármilyen színűre is van festve, a

3

szín közül, mindig kielégíti a feltételt. Ui.

1

-től való távolsága

\sqrt[]{{(\frac{1}{2})}^{2} + 1^{2}} > \sqrt[]{\frac{65}{64}}

2

-től való távolsága

\sqrt[]{{(\frac{1}{2})}^{2} + {(\frac{7}{8})}^{2}} = \sqrt[]{\frac{16}{64} + \frac{49}{64}} = \sqrt[]{\frac{65}{64}}

, és

3

-tól való távolsága ugyancsak

\sqrt[]{65 / 64}

Megjegyzés. A megoldás során tulajdonképpen azt bizonyítottuk be, hogy a négyzet kerületét nem lehet három színnel kiszínezni úgy, hogy az azonos színű pontpárok távolsága

\sqrt[]{65 / 64}

-nél kisebb legyen. A szemlélet is azt sugallja, hogy a kerületen kell keresnünk az egymástól távol eső azonos színű pontokat. Felvetődik tehát a kérdés, hogy nem lehetne valamivel többet is állítani a színezésről: igaz-e az, hogy a négyzet belsejében is található

\sqrt[]{65 / 64}

-nél nem kisebb távolságra eső azonos színű pontpár.
A másik, ennél természetesebbnek tűnő kérdés, nem lehet esetleg a

\sqrt[]{65 / 64}

-et még növelni; esetleg van olyan

N > \sqrt[]{65 / 64}

szám, hogy a négyzet pontjait három színnel kiszínezve található azonos színű pontpár, amelynek távolsága legalább

N

.
Mindkét kérdésre tagadó a válasz: nem lehet élesíteni a feladat állítását.

A harmadik ábrán látható színezés ‐ (két terület határán levő pontokat valamelyik, a pont által határolt terület színére kell színezni, hogy melyikre, az mindegy) ‐, ugyanis olyan, hogy nincs a négyzet belsejében olyan azonos színű pontpár, amelynek távolsága elérné a

\sqrt[]{65 / 64}

-et, és az is igaz, hogy a legtávolabb eső azonos színű pontok távolsága pontosan

\sqrt[]{65 / 64}

. (Gondoljunk arra, hogy mindegyik kis téglalap átlója éppen

\sqrt[]{65 / 64}

hosszú!)