Feladat: 1611. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: -
Füzet: 1976/április, 169 - 171. oldal  PDF file
Témakör(ök): Geometriai egyenlőtlenségek, Egyéb szinezési problémák, Lefedések, Síkbeli ponthalmazok távolsága, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1975/december: 1611. matematika gyakorlat

Színezzük ki egy egységnyi oldalú négyzetlap valamennyi pontját, a kerületét is. A színezéshez pontosan három színt kell használnunk.
 

Bizonyítsuk be, hogy bármiképpen is színezzük ki a négyzetlap pontjait, mindig találhatunk olyan két azonos színű pontot közöttük, melyeknek távolsága legalább 65/64.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel a színezéshez pontosan három színt használtunk, van két azonos színű csúcs. Ha ez két átellenes csúcs, ekkor ez a két pont eleget tesz a kívánt feltételnek, hiszen távolságuk 2>65/64.
Jelöljük a színeket 1-essel, 2-essel, 3-assal, és vizsgáljuk azt az esetet, ha két szomszédos csúcs azonos színű (pl. 1-es).

 

Ekkor két esetet különböztetünk meg:
 

a) a másik két csúcs azonos színű, pl. 2-es,
b) a másik két csúcs nem azonos színű.
 

a) Mérjünk fel az 1, 2 oldal egyikére 1-től 1/8-adot, jelöljük ezt a pontot A-val.
 

 

Ha A 1-es színű, akkor van olyan 1-es színű csúcs, amelytől mért távolsága 12+(18)2=6564. Ha A2-es színű, akkor van olyan 2-es színű csúcs, amelyiktől mért távolsága 12+(78)2>6564.
Maradt az az eset, ha A3-as színű. Ekkor az A-val szemközti élre mérjünk 2/8-adot 1-től kiindulva, jelöljük ezt a pontot B-vel.
B bármelyik színnel is van kiszínezve, mindig található hozzá a feltételt kielégítő szín, mert az egyik 1-es színű csúcstól való távolsága (28)2+12>6564, az egyik 2-es színű csúcstól 12+(68)2>6564, és 3-tól pontosan 65/64 távolságra van.
 

b) Ha a másik két csúcs különböző színű, mérjünk fel ismét 1/8-adot az 1, 2 és  1, 3 oldalakra 1-ből kiindulva. Jelöljük ezeket a pontokat A-val és B-vel.
 

 

A csak akkor nem tesz eleget a feltételnek, ha 2-es, B pedig akkor, ha 3-as színű. Ezután vegyük a 2, 3 oldal felezőpontját, C-t. C akármilyen színűre is van festve, a 3 szín közül, mindig kielégíti a feltételt. Ui. 1-től való távolsága (12)2+12>6564, 2-től való távolsága (12)2+(78)2=1664+4964=6564, és 3-tól való távolsága ugyancsak 65/64
 

Megjegyzés. A megoldás során tulajdonképpen azt bizonyítottuk be, hogy a négyzet kerületét nem lehet három színnel kiszínezni úgy, hogy az azonos színű pontpárok távolsága 65/64-nél kisebb legyen. A szemlélet is azt sugallja, hogy a kerületen kell keresnünk az egymástól távol eső azonos színű pontokat. Felvetődik tehát a kérdés, hogy nem lehetne valamivel többet is állítani a színezésről: igaz-e az, hogy a négyzet belsejében is található 65/64-nél nem kisebb távolságra eső azonos színű pontpár.
A másik, ennél természetesebbnek tűnő kérdés, nem lehet esetleg a 65/64-et még növelni; esetleg van olyan N>65/64 szám, hogy a négyzet pontjait három színnel kiszínezve található azonos színű pontpár, amelynek távolsága legalább N.
Mindkét kérdésre tagadó a válasz: nem lehet élesíteni a feladat állítását.
 

 

A harmadik ábrán látható színezés ‐ (két terület határán levő pontokat valamelyik, a pont által határolt terület színére kell színezni, hogy melyikre, az mindegy) ‐, ugyanis olyan, hogy nincs a négyzet belsejében olyan azonos színű pontpár, amelynek távolsága elérné a 65/64-et, és az is igaz, hogy a legtávolabb eső azonos színű pontok távolsága pontosan 65/64. (Gondoljunk arra, hogy mindegyik kis téglalap átlója éppen 65/64 hosszú!)