Feladat:	1610. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Molnár István
Füzet:	1976/április, 168 - 169. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Háromszögek hasonlósága, Középpontos tükrözés, Paralelogrammák, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1975/december: 1610. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{PM}{AM}=\frac{1}{5}\text{és}\frac{BP}{BN}=\frac{2}{5}\mathrm{.}}\end{array}$ (1)     Jelöljük $A$-nak $M$-re vonatkozó tükörképét $Q$-val. (1) alapján $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{PQ}{PA}=\frac{PM+MQ}{AM-PM}=\frac{\frac{1}{5}+1}{1-\frac{1}{5}}=\frac{3}{2}=\frac{PN}{PB}\mathrm{,}}\end{array}$ tehát az $ABP$, $QNP$ háromszögek hasonlóak, és $QN\parallel AB$. $Q$ származtatása miatt $CQ$ is párhuzamos $AB$-vel, így a $Q$, $C$, $N$ pontok egy egyenesen vannak, és $CD$ is párhuzamos $AB$-vel. Az $ABP$, $QNP$ háromszögek hasonlósága miatt $QN=\frac{3}{2}AB$, tehát $CD=2CN=2\left(QN-QC\right)=2\left(\frac{3}{2}-1\right)AB=AB$. Emiatt az $ABCD$ négyszögben $CD$ nemcsak párhuzamos, de egyenlő is $AB$-vel, vagyis a négyszög paralelogramma. Megfordítva, ha $ABCD$ paralelogramma, az $ABP$, $QNP$ háromszögek $QN$ és $AB$ párhuzamossága miatt hasonlóak, és megfelelő oldalaik aránya $AB=CD$ miatt $3:2$. Tehát $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{BP}{BN}=\frac{BP}{BP+PN}=\frac{1}{1+\frac{3}{2}}=\frac{2}{5}\mathrm{,}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{PM}{AM}=\frac{\frac{1}{2}\left(AP+PQ\right)-AP}{\frac{1}{2}\left(AP+PQ\right)}=\frac{3-2}{3+2}=\frac{1}{5}\mathrm{.}}\end{array}$ Eszerint (1) minden paralelogrammában igaz, így (1) alapján biztos, hogy nem lehet többet mondani a négyszögről annál, hogy az paralelogramma.     Molnár István (Győr, Révai M. Gimn., II. o. t.)