Feladat: 1610. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: -
Megoldó(k):  Molnár István 
Füzet: 1976/április, 168 - 169. oldal  PDF file
Témakör(ök): Háromszögek hasonlósága, Középpontos tükrözés, Paralelogrammák, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1975/december: 1610. matematika gyakorlat

Az ABCD konvex négyszögben M a BC oldal felezőpontja, N a CD oldalé. Az AM és BN egyenesek P-ben metszik egymást, és tudjuk, hogy
PMAM=15ésBPBN=25.
Mit mondhatunk az ABCD négyszögről?

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

PMAM=15ésBPBN=25.(1)
 

 

Jelöljük A-nak M-re vonatkozó tükörképét Q-val. (1) alapján
PQPA=PM+MQAM-PM=15+11-15=32=PNPB,
tehát az ABP, QNP háromszögek hasonlóak, és QNAB. Q származtatása miatt CQ is párhuzamos AB-vel, így a Q, C, N pontok egy egyenesen vannak, és CD is párhuzamos AB-vel. Az ABP, QNP háromszögek hasonlósága miatt QN=32AB, tehát CD=2CN=2(QN-QC)=2(32-1)AB=AB. Emiatt az ABCD négyszögben CD nemcsak párhuzamos, de egyenlő is AB-vel, vagyis a négyszög paralelogramma.
Megfordítva, ha ABCD paralelogramma, az ABP, QNP háromszögek QN és AB párhuzamossága miatt hasonlóak, és megfelelő oldalaik aránya AB=CD miatt 3:2. Tehát
BPBN=BPBP+PN=11+32=25,
PMAM=12(AP+PQ)-AP12(AP+PQ)=3-23+2=15.
Eszerint (1) minden paralelogrammában igaz, így (1) alapján biztos, hogy nem lehet többet mondani a négyszögről annál, hogy az paralelogramma.
 

  Molnár István (Győr, Révai M. Gimn., II. o. t.)