Feladat: 1609. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: -
Füzet: 1976/április, 168. oldal  PDF file
Témakör(ök): Háromszögek hasonlósága, Alakzatok hasonlósága, Alakzatba írt kör, Körök, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1975/december: 1609. matematika gyakorlat

Egy körszeletbe két kört írtunk. Az első a határoló ívet és a húrt az A1 és B1, a második az A2 és B2 pontban érinti. Mutassuk meg, hogy az A1B1, és A2B2 egyenesek metszéspontjának helyzete nem függ a két kör megválasztásától.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a körszeletet határoló kört és egyenest k-val, illetve e-vel, a két érintő kört k1-gyel, k2-vel, a körök középpontját O-val, O1-gyel és O2-vel.

 

 

A következő megállapítások az i=1 és i=2 értékekre egyaránt érvényesek lesznek. Mivel ki belülről érinti k-t Ai-ben, O az AiOi, félegyenesen van. Mivel ki érinti e-t Bi-ben, OiBi, merőleges e-re.
Tekintsük azt az Ai centrumú nagyítást, mely Oi-t O-ba viszi. Jelöljük Bi pont megfelelőjét Ci-vel, az e egyenesét pedig ei-vel. Mivel ez a nagyítás ki-t k-ba viszi, Ci a k kör pontja, és ei a k e-vel párhuzamos érintője. A k körnek csak két, e-vel párhuzamos érintője van, ezek közül ei csak az lehet, amelyik e-nek a körszelettel ellentétes oldalán van, hiszen a nagyítás miatt e elválasztja Ai-t ei-től. Tehát az ei egyenes helyzete nem függ ki megválasztásától, így nem függ attól a Ci pont helyzete sem: Ci azonos azzal a C ponttal, amelyben k-nak az e-re merőleges ármérője metszi k-nak a körszelethez nem tartozó ívét. Mivel A1B1 is, A2B2 is átmegy ezen a C ponton, C egyben e két egyenes metszéspontja, (ha k1 nem azonos k2-vel, a két egyenesnek más közös pontja nem lehet), ezzel a feladat állítását bebizonyítottuk.
 

Megjegyzés. Ha nagyítás helyett az AiBiOi, AiCiO háromszögek hasonlóságát használjuk, külön kell foglalkozni azzal az esettel, amikor AiBi átmérő ki-ben.