Kezdőlap


Feladat:	1608. matematika gyakorlat	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: -
Megoldó(k):	Molnár Marianna
Füzet:	1976/április, 167. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Oszthatósági feladatok, Prímtényezős felbontás, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1975/december: 1608. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ahhoz, hogy egy kifejezés osztható legyen $120$ -szal, szükséges és elegendő, hogy külön-külön osztható legyen $3$ -mal, $5$ -tel, illetve $8$ -cal. Ugyanis $3$ , $5$ és $8$ páronként relatív prímek, és szorzatuk éppen $120$ .
Meg kell tehát mutatnunk, hogy $n^{7} - n^{3}$ külön-külön osztható ezekkel a számokkal. Ehhez először szorzattá alakítjuk $(n^{7} - n^{3})$ -t

\begin{matrix} n^{7} - n^{3} = n^{3} (n^{4} - 1) = n^{3} (n^{2} - 1) (n^{2} + 1) = (n - 1) \cdot n \cdot (n + 1) \cdot n^{2} (n^{2} + 1) . \end{matrix}

3

-mal való oszthatóság bizonyítása:

Mivel

(n - 1)

n

(n + 1)

három szomszédos szám, így az egyik biztosan osztható

3

-mal, tehát a szorzatuk is.

II.

8

-cal való oszthatóság igazolása:

a) Ha

n

páros, akkor

n^{3} = {(2 k)}^{3} = 8 k^{3}

, osztható

8

-cal.
b) Ha

n

páratlan:

n + 1

n - 1

n^{2} + 1

párosak, így szorzatuk osztható

2 \cdot 2 \cdot 2 = 8

-cal.

III.

5

-tel való oszthatóság vizsgálata:

n 5

-tel osztva,

0

1

vagy

4

maradékot ad, akkor

(n - 1) n (n + 1)

osztható

5

-tel. Ha viszont

n

5

-tel osztva

2

vagy

3

maradékot ad, akkor

{(5 k + 2)}^{2} + 1 = 5 (5 k^{2} + 4 k + 1)

, valamint

{(5 k + 3)}^{2} + 1 = 5 (5 k^{2} + 6 k + 2)

alapján

n^{2} + 1

osztható

5

-tel.
Tehát

120 = 3 \cdot 5 \cdot 8

valóban osztója

(n^{7} - n^{3})

-nek minden

n

-re.

Molnár Marianna (Szolnok, Verseghy F. Gimn., II. o. t.)