Feladat: 1608. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: -
Megoldó(k):  Molnár Marianna 
Füzet: 1976/április, 167. oldal  PDF file
Témakör(ök): Algebrai átalakítások, Oszthatósági feladatok, Prímtényezős felbontás, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1975/december: 1608. matematika gyakorlat

Mutassuk meg, hogy n7-n3 minden természetes számra osztható 120-szal.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ahhoz, hogy egy kifejezés osztható legyen 120-szal, szükséges és elegendő, hogy külön-külön osztható legyen 3-mal, 5-tel, illetve 8-cal. Ugyanis 3, 5 és 8 páronként relatív prímek, és szorzatuk éppen 120.
Meg kell tehát mutatnunk, hogy n7-n3 külön-külön osztható ezekkel a számokkal. Ehhez először szorzattá alakítjuk (n7-n3)-t

n7-n3=n3(n4-1)=n3(n2-1)(n2+1)=(n-1)n(n+1)n2(n2+1).

I. 3-mal való oszthatóság bizonyítása:
 

Mivel (n-1), n, (n+1) három szomszédos szám, így az egyik biztosan osztható 3-mal, tehát a szorzatuk is.
 

II. 8-cal való oszthatóság igazolása:
 

a) Ha n páros, akkor n3=(2k)3=8k3, osztható 8-cal.
b) Ha n páratlan: n+1, n-1, n2+1 párosak, így szorzatuk osztható 222=8-cal.
 

III. 5-tel való oszthatóság vizsgálata:
 

Ha n5-tel osztva, 0, 1 vagy 4 maradékot ad, akkor (n-1)n(n+1) osztható 5-tel. Ha viszont n 5-tel osztva 2 vagy 3 maradékot ad, akkor (5k+2)2+1=5(5k2+4k+1), valamint (5k+3)2+1=5(5k2+6k+2) alapján n2+1 osztható 5-tel.
Tehát 120=358 valóban osztója (n7-n3)-nek minden n-re.
 

  Molnár Marianna (Szolnok, Verseghy F. Gimn., II. o. t.)