Feladat:	1607. matematika gyakorlat	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: -
Füzet:	1976/április, 166 - 167. oldal		PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1975/december: 1607. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. ${\displaystyle \begin{array}{ccc}\hfill {\displaystyle x+y-z}& {\displaystyle =4}\hfill & \text{(1)}\\ \hfill {\displaystyle x^2+y^2-z^2}& {\displaystyle =12}\hfill & \text{(2)}\\ \hfill {\displaystyle x^3+y^3-z^3}& {\displaystyle =34.}\hfill & \text{(3)}\end{array}}$ Az alábbi, könnyen igazolható (és időnként jól használható) összefüggéseket fogjuk felhasználni: ${\displaystyle \begin{array}{ccc}\hfill {\displaystyle }& {\displaystyle x^2+y^2={\left(x+y\right)}^2-2xy}\hfill & \text{(<mn>4</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle x^3+y^3={\left(x+y\right)}^3-3xy\left(x+y\right)\mathrm{.}}\hfill & \text{(<mn>5</mn>)}\end{array}}$ (1)-bőt fejezzük ki $\left(x+y\right)$-t, és (4), illetve (5) felhasználásával helyettesítsük (2) és (3)-ba: ${\displaystyle \begin{array}{ccc}\hfill {\displaystyle {\left(z+4\right)}^2-2xy-z^2}& {\displaystyle =\mathrm{12,}}\hfill & \text{(<mn>6</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle {\left(z+4\right)}^3-3xy\left(z+4\right)-z^3}& {\displaystyle =34.}\hfill & \text{(<mn>7</mn>)}\end{array}}$ (6) szerint $xy=4z+2$, amit (7)-be téve és a kapott egyenletet átrendezve azt kapjuk, hogy $6=6z$, azaz $z=1$. Ekkor $xy=4z+2=6$ és (1) -ből $x+y=z+4=5$ következik, tehát $x$ és $y$ az $u^2-5u+6=0$ egyenlet gyökei: $x=2$, $y=3$ vagy $x=3$, $y=2$. Így az egyenletrendszer megoldásai csak $\begin{array}{c}{\displaystyle x=\mathrm{2,}y=\mathrm{3,}z=\mathrm{1,}\text{valamint}x=\mathrm{3,}y=\mathrm{2,}z=1}\end{array}$ lehetnek, és hogy ezek valóban megoldások, arról visszahelyettesítéssel győződhetünk meg.