Feladat: 1607. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: -
Füzet: 1976/április, 166 - 167. oldal  PDF file
Témakör(ök): Algebrai átalakítások, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1975/december: 1607. matematika gyakorlat

Oldjuk meg az egyenletrendszert:
x+y-z=4x2+y2-z2=12x3+y3-z3=34.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

x+y-z=4(1)x2+y2-z2=12(2)x3+y3-z3=34.(3)
Az alábbi, könnyen igazolható (és időnként jól használható) összefüggéseket fogjuk felhasználni:
x2+y2=(x+y)2-2xy(4)x3+y3=(x+y)3-3xy(x+y).(5)
(1)-bőt fejezzük ki (x+y)-t, és (4), illetve (5) felhasználásával helyettesítsük (2) és (3)-ba:
(z+4)2-2xy-z2=12,(6)(z+4)3-3xy(z+4)-z3=34.(7)
(6) szerint xy=4z+2, amit (7)-be téve és a kapott egyenletet átrendezve azt kapjuk, hogy 6=6z, azaz z=1. Ekkor xy=4z+2=6 és (1) -ből x+y=z+4=5 következik, tehát x és y az u2-5u+6=0 egyenlet gyökei: x=2, y=3 vagy x=3, y=2. Így az egyenletrendszer megoldásai csak
x=2,y=3,z=1,valamintx=3,y=2,z=1
lehetnek, és hogy ezek valóban megoldások, arról visszahelyettesítéssel győződhetünk meg.