Feladat: 1606. matematika gyakorlat Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: -
Füzet: 1976/április, 166. oldal  PDF file
Témakör(ök): Oszthatósági feladatok, Természetes számok, Tizes alapú számrendszer, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1975/december: 1606. matematika gyakorlat

Határozzuk meg azokat a háromjegyű, 13-mal osztható számokat, amelyek középső jegye a másik két szám számtani közepe.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a keresett szám abc, ahol a, b, c számjegyek és a0. Tudjuk, hogy b számtani közepe a-nak és c-nek, azaz b=(a+c)/2. Mivel b-nek egésznek kell lennie, azért a és c egyszerre páros vagy páratlan.
Másrészt tudjuk, hogy számunk, azaz 100a+10b+c osztható 13-mal. A b=(a+c)/2 feltételt felhasználva a 100a+10b+c=100a+5(a+c)+c=105a+6c=138a+a+6c összegnek kell 13-mal oszthatónak lennie, ami viszont pontosan akkor teljesül, ha a+6c osztható 13-mal. Feladatunk tehát az, hogy olyan, egyforma párosságú a és c számjegyeket keressünk (a0), melyekre a+6c osztható 13-mal.
Ehhez végigpróbáljuk c összes lehetséges értékét, és mindegyikhez megnézzük, mennyinek kell választanunk a-t, hogy a+6c 13 többszöröse legyen. Végül az így kapott párok közül kiválogatjuk a megfelelőeket:

ncnn0nn1nn2nn3nn4nn5nn6nn7nn8nn9na071829310411
 

Láthatjuk, hogy csak c=1, 4, 5, és 8 értékek megfelelőek. Az ezekhez tartozó háromjegyű számok: 741, 234, 975 és 468, valóban ki is elégítik a feladat követelményeit.
Ezzel megadtuk a feladatban keresett tulajdonságú számokat.
 

Megjegyzés. A gyakorlat szövege egyértelműen háromjegyű számokat kérdezett. S mivel a legkisebb háromjegyű szám 100, a legnagyobb pedig 999, kizárólag ebben az intervallumban kerestünk megoldásokat. Így tehát a negatív számok, bár abszolút értékük háromjegyű, maguk már nem háromjegyű számok, mint ahogyan azt több megoldónk gondolta.