Feladat: 1604. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: -
Megoldó(k):  Józsa Miklós 
Füzet: 1976/április, 165 - 166. oldal  PDF file
Témakör(ök): Alakzatok köré írt kör, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1975/november: 1604. matematika gyakorlat

Az ABCD négyzet DB átlójának B-n túli meghosszabbítására fölmérjük a négyzet oldalát, a végpont E. A DC oldal C-n túli meghosszabbításán F az a pont, amelyre az FAD szög háromszor akkora, mint az AFD szög. Az AF és DE egyenesek metszéspontja G, az AD és BC egyenesek metszéspontja H, az AD egyenesre H-ban állított merőleges EF-t K-ban metszi.
Bizonyítsuk be, hogy az AEFD négyszög körbe írható, és az AK egyenes átmegy a C csúcson.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feltétel szerint FAD=3AFD és FAD+AFD=90, ezért AFD=22,5.

 

 

Az ABE háromszög egyenlő szárú (AB=BE), B csúcsnál levő külső szöge 45-os, így a háromszög AE alapján fekvő belső szögek 22,5-osak. Ez egyúttal azt is jelenti, hogy AED=22,5.
Az AEFD (konvex) négyszög oldala tehát az E és az F csúcsból egyaránt 22,5-os szög alatt látszik, s mivel az E és F csúcspontok az AD oldalegyenesnek ugyanazon a partján helyezkednek el, az A, E, F és D pontok valóban egy körön vannak, mégpedig az AD szakasz egyik 22,5-os látókörívén. Ezzel az első állítást bizonyítottuk.
Az AEFD húrnégyszögben D szög derékszög, a szemközti E csúcsnál levő szöge is derékszög, ezért AEKH (konvex) négyszög is húrnégyszög.
CEB=AEB az ED egyenesre vonatkozó tengelyes szimmetria miatt, ezért AEC=AEH=45. Ekkor viszont AKH is 45-os, mivel AEKH húrnégyszögben az AH oldal K-ból ugyanakkora szög alatt látszik, mint E-ből. Így az AKH derékszögű háromszögben HAK=45.
Az AC szakasz az AH félegyenessel szintén 45-os szöget alkot, mégpedig ugyanabban a félsíkban, mint AK, ezért C rajta van az AK egyenesen.
 

  Józsa Miklós (Sátoraljaújhely, Kossuth L. Gimn., III. o. t.)