A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Legyen az konvex négyszög csúcsának a átló felezőpontjára vonatkozó tükörképe , ekkor paralelogramma. Ahhoz, hogy benne legyen -ben, vagy rajta legyen az kerületének a és szakaszokból álló részén (hiszen mindenesetre a egyenesnek a -t tartalmazó partján van), egyrészt az szükséges, hogy a félegyenes az (konvex) szögtartomány belsejében haladjon vagy azonos legyen a félegyenessel. Ez azt jelenti más szóval, hogy az és oldalak meghosszabbításai az egyenesnek -et nem tartalmazó partján messék egymást egy pontban, vagy hogy párhuzamos legyen e két egyenes. Másrészt hasonlóan a félegyenesnek az (konvex) szögtartományban kell lennie vagy a félegyenessel azonosnak, más szóval az és egyeneseknek az egyenesen túl kell metsződniük egy pontban, vagy pedig párhuzamosaknak kell lenniük. Könnyű belátni, hogy ha e két szükséges föltétel teljesül, ez együtt elegendő is ahhoz, hogy az belsejében vagy a kerületén legyen.
Mármost, ha és , akkor azonos -vel, így a feladat állítása helyes (a négyszögnek mind a csúcsára). Ha -nek csak egy pár párhuzamos oldalpárja van ‐ mondjuk és ‐, akkor trapéz, és rövidebbik alapjának mindkét végpontjára teljesül az állítás. Ha pedig nincs -nek párhuzamos oldalpárja, akkor a mondott , metszéspontok mindegyike létrejön, és -nek az egyeneshez legközelebb levő csúcsára igaz az állítás. Valóban, az -hez legközelebb levő csúcson átmenő oldalak elválasztják az , pontokat -től, így a bevezetőben mondottak szerint ennek a csúcsnak a tükörképe belsejében van.
Megjegyzés. Mondhatjuk így is a fentieket. akkor és csak akkor az állításnak megfelelő csúcs, ha az oldal végpontjaiban levő szögek összege is, és az végpontjaiban levő szögek összege is legalább . Ha tehát kiválasztjuk az és oldalak közül is azt, amelyikre ez teljesül, és az , párból is, akkor a két kiválasztott oldal közös végpontja az állításnak megfelelő csúcs. Ha egy vagy mindkét összeg , akkor persze bármelyik végpontját választhatjuk az illető oldatnak. |