Feladat: 1429. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1973/február, 69 - 70. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Középpontos tükrözés, Paralelogrammák, Négyszögek geometriája, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1972/szeptember: 1429. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen az ABCD=N konvex négyszög A csúcsának a BD átló felezőpontjára vonatkozó tükörképe A', ekkor ABA'D paralelogramma.
Ahhoz, hogy A' benne legyen N-ben, vagy rajta legyen az N kerületének a CB és CD szakaszokból álló részén (hiszen mindenesetre a BD egyenesnek a C-t tartalmazó partján van), egyrészt az szükséges, hogy a BA' félegyenes az ABC (konvex) szögtartomány belsejében haladjon vagy azonos legyen a BC félegyenessel. Ez azt jelenti más szóval, hogy az AD és BC oldalak meghosszabbításai az AB egyenesnek N-et nem tartalmazó partján messék egymást egy E pontban, vagy hogy párhuzamos legyen e két egyenes.
Másrészt hasonlóan a DA' félegyenesnek az ADC (konvex) szögtartományban kell lennie vagy a DC félegyenessel azonosnak, más szóval az AB és DC egyeneseknek az AD egyenesen túl kell metsződniük egy F pontban, vagy pedig párhuzamosaknak kell lenniük.
Könnyű belátni, hogy ha e két szükséges föltétel teljesül, ez együtt elegendő is ahhoz, hogy A' az N belsejében vagy a kerületén legyen.

 
 

Mármost, ha AD||BC és AB||DC, akkor A' azonos C-vel, így a feladat állítása helyes (a négyszögnek mind a 4 csúcsára). Ha N-nek csak egy pár párhuzamos oldalpárja van ‐ mondjuk AB és DC ‐, akkor N trapéz, és rövidebbik alapjának mindkét végpontjára teljesül az állítás. Ha pedig nincs N-nek párhuzamos oldalpárja, akkor a mondott E, F metszéspontok mindegyike létrejön, és N-nek az EF egyeneshez legközelebb levő csúcsára igaz az állítás. Valóban, az EF-hez legközelebb levő csúcson átmenő oldalak elválasztják az E, F pontokat N-től, így a bevezetőben mondottak szerint ennek a csúcsnak a tükörképe N belsejében van.
 
Megjegyzés. Mondhatjuk így is a fentieket. A akkor és csak akkor az állításnak megfelelő csúcs, ha az AB oldal végpontjaiban levő szögek összege is, és az AD végpontjaiban levő szögek összege is legalább 180∘. Ha tehát kiválasztjuk az AB és CD oldalak közül is azt, amelyikre ez teljesül, és az AD, BC párból is, akkor a két kiválasztott oldal közös végpontja az állításnak megfelelő csúcs. Ha egy vagy mindkét összeg 180∘, akkor persze bármelyik végpontját választhatjuk az illető oldatnak.