Kezdőlap


Feladat:	1421. matematika gyakorlat	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1973/január, 23 - 25. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb feladványok, Elsőfokú (és arra visszavezethető) egyenletrendszerek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1972/május: 1421. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. Jelöljük az $n$ -edik heti betétet $b_{n}$ -nel és a továbbiakban ismétlődő $b_{3} - b_{2}$ heti növekedést (ami az l. és 2. hét között, úgy látszik, még nem érvényes) $d$ -vel. Ekkor $b_{1}$ , $b_{2}$ és $d$ kiszámításához elég az (1), (2), (3) egyenletrendszer. Ugyanis a betét hetenként $d$ -vel való növelése alapján

\begin{matrix} b_{3} = b_{2} + d, b_{4} = b_{3} + d = b_{2} + 2 d, b_{5} = b_{2} + 3 d, \\ b_{6} = b_{2} + 4 d, b_{7} = b_{2} + 5 d, b_{8} = b_{2} + 6 d, b_{9} = b_{2} + 7 d, \end{matrix}

így a persely tartalma az egyenletekben szereplő hetek végén:

\begin{matrix} {\begin{matrix} P_{3} = b_{1} + b_{2} + b_{3} = b_{1} + 2 b_{2} + d, \\ P_{4} = P_{3} + b_{4} = P_{3} + (b_{2} + 2 d) = b_{1} + 3 b_{2} + 3 d \\ P_{5} = P_{4} + (b_{2} + 3 d) = b_{1} + 4 b_{2} + 6 d \\ P_{7} = P_{5} + (b_{2} + 4 d) + (b_{2} + 5 d) = b_{1} + 6 b_{2} + 15 d, & (4) \\ P_{8} = P_{7} + (b_{2} + 6 d) = b_{1} + 7 b_{2} + 21 d, \\ P_{9} = P_{8} + (b_{2} + 7 d) = b_{1} + 8 b_{2} + 28 d \end{matrix} \end{matrix}

ezekkel pedig (1)‐(3) így alakul (mindjárt rendezve is):

\begin{matrix} 4 d & = b_{1}, & (1') \\ b_{2} + 4 d & = 20, & (2') \\ 10 d & = b_{1} + b_{2} & (3') \end{matrix}

Innen egyszerű számítással (mindent Ft-ban értve)

\begin{matrix} d = 2, b_{1} = 8, b_{2} = 12. \end{matrix}

(5)

2. A heti növekedés alapján

n \geq 2

esetén minden heti betétre érvényes:

\begin{matrix} b_{n} = b_{2} + (n - 2) d, \end{matrix}

(6)

hiszen a 2. héttől az

n

-edik hétig

(n - 2)

hét telt el, ennyiszer

d

-vel lett nagyobb a betét. Azt sejtjük továbbá, hogy a persely tartalma az

n

-edik betét után

\begin{matrix} P_{n} = b_{1} + (n - 1) b_{2} + d {1 + 2 + ... + (n - 3) + (n - 2)} . \end{matrix}

(7)

Ugyanis a pénzkészlet hetenkénti megszámlálásának könnyítésére (6) alapján elképzelhetjük, hogy az apa a 2. héttől kezdve minden héten

b_{2}

értéket úgy tett be, hogy összecsomagolt egy 10 Ft-ost és egy 2 Ft-ost, ilyen csomag tehát mindig 1-gyel kevesebb van benn, mint a hét sorszáma, továbbá a hét sorszámánál 2-vel kevesebb db

d = 2

Ft-ost is összecsomagolva tett be, ezeknek a darabszámoknak a

{}

-ben álló összegével kell tehát csak

d

-t szoroznunk a készlet megállapítása céljára.
Valóban, ugyanezzel az eljárással lehet kiszámítani a következő hét végén is a persely tartatmát:

\begin{matrix} P_{n + 1} = P_{n} + b_{n + 1} = P_{n} + (B_{2} + (n - 1) d) = \\ = b_{1} + n b_{2} + d {1 + 2 + ... + (n - 2) + (n - 1)} . \end{matrix}

3. A (7) kapcsos zárójelében álló összeget egyszerűbben lehet kiszámítani szorzással. Bebizonyítjuk, hogy

\begin{matrix} S_{n - 2} = 1 + 2 + 3 + ... + (n - 3) + (n - 2) = \frac{(n - 2) (n - 1)}{2}, \end{matrix}

vagyis az utolsó összeadandót szorozzuk a nála 1-gyel nagyobb számmal és a szorzatot osztjuk 2-vel. Ennek helyességét a

0 < n - 2 \leq 7

esetekre a (4) táblázatban látjuk. Valóban, 1-gyel tovább menve

\begin{matrix} S_{n - 1} = S_{n - 2} + (n - 1) = (n - 1) (\frac{n - 2}{2} + 1) = \frac{(n - 1) n}{2}, \end{matrix}

tehát a mondott szabályszerűség minden természetes számról átöröklődik a rá következőre.
4. Ezek szerint, felhasználva az (5) értékeket:

\begin{matrix} P_{n} = b_{1} + (n - 1) b_{2} + \frac{d}{2} (n - 2) (n - 1) = n^{2} + 9 n - 2, \end{matrix}

(8)

erről a kifejezésről kell megállapítanunk, hogy mely

n

értékek mellett ad négyzetszámot. Ha csak egyetlen ilyen érték van, akkor Miki jóslata helyes.
A tekintetbe jövő

n

-ekre

P_{n} > n^{2}

, keressük ezért a négyzetszám alapját

(n + t)

alakban, ahol persze

t

is természetes szám. Így

\begin{matrix} P_{n} = n^{2} + 9 n - 2 = {(n + t)}^{2} -ből t^{2} = (9 - 2 t) n - 2, \end{matrix}

eszerint csak azok a

t

értékek jönnek szóba, amelyekre

\begin{matrix} 9 - 2 t > 0, t = 1, 2, 3, 4, \end{matrix}

és az egyenletből

\begin{matrix} n = \frac{t^{2} + 2}{9 - 2 t} . \end{matrix}

Ez a kifejezés a négy érték közül egyedül

t = 4

esetében ad egész számot és ekkor

n = 18

.
Ezek szerint Miki a 18. héten találta négyzetszámnak a persely

P_{18} = 484 = {(18 + 4)}^{2}

tartalmát, és ezután többet sohasem lesz

P_{n}

négyzetszám.
Megjegyezzük végül, hogy Miki fel nem használt oszthatósági észrevételei a talált megoldásban teljesülnek a persely bármely heti

P_{n} (n \geq 2)

tartalmára és

P_{1}

-re is. (8) szerint írható:

P_{n} = n (n + 9) - 2

, és ez mindig páros, hiszen

n

és

(n + 9)

egyike páros, tehát a szorzatuk is páros; másrészt sohasem osztható 3-mal, mert

P_{n}

-nek második tagja osztható vele,

n^{2} - 2

viszont nem, hiszen

n^{2} - 2

n = 3 k

3 k + 1

3 k + 2

alakok mellett rendre

3 (3 k - 1) + 1

3 (3 k^{2} + 2 k - 1) + 2

és

3 (3 k^{2} + 4 k) + 2

alakú.

Megjegyzés. (8) megállapítása után eljárhatunk az alábbiak szerint is. Mivel van olyan

e

egész szám, hogy

\begin{matrix} P_{n} = n^{2} + 9 n - 2 = e^{2}, n^{2} + 9 n - (e^{2} + 2) = 0, \end{matrix}

és hogy (a kérdéses héten is)

n

természetes szám következik, hogy az egyenlet diszkriminánsa egy

f

egész szám négyzete:

\begin{matrix} 81 + 4 (e^{2} + 2) = 4 e^{2} + 89 = f^{2}, \\ f^{2} - 4 e^{2} = (f - 2 e) (f + 2 e) = 89. \end{matrix}

Ámde a

89

prímszám, tehát ez lényegében csak egyféleképpen lehetséges, ti. ha

\begin{matrix} f - 2 e = 1, f + 2 e = 89, \end{matrix}

amiből

e = 22

f = 45

és

n = 18

. (Ugyanezt kaptuk volna a

89 = (- 1) (- 89)

felbontásból is, vagy az

f - 2 e = 89

f + 2 e = 1

egyenletrendszerből is, mert

e

-nek és

f

-nek csak az abszolút értéke lényeges.)