Feladat: 1419. matematika gyakorlat Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: -
Megoldó(k):  Beck László ,  Csuka Gábor ,  Éltető László ,  Fodor Eszter ,  Fukker Bertalan ,  Hasenfratz Anna ,  Hornung Tamás ,  Illés Gábor ,  Lelkes András ,  Németh József ,  Pesti Gábor ,  Pócsi György ,  Prőhle Péter ,  Simányi Nándor ,  Szabó Zsolt ,  Szalai Sándor ,  Szecsői Sándor ,  Szekerka Géza ,  Takáts Tamás ,  Vass Albert ,  Veres Sándor ,  Vladár Károly 
Füzet: 1975/december, 209 - 212. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Pont körüli forgatás, Mértani helyek, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül háromszögekben, Diszkusszió, Síkgeometriai szerkesztések, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1972/április: 1419. matematika gyakorlat

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. Az A, B, C alappontok egyenrangúak, mégha a látószögek megadásában a PC félegyenes kétszer szerepel is PA és PB egyszeri szereplésével szemben. Ugyanis a terepen ott állva, látjuk P helyzetét az ABC háromszöghöz viszonyítva, és α és β kapcsolatát az AB oldal 180∘-nál nem nagyobb APB∢=γ látószögével. A háromszög belsejében és az oldalszakaszain levő pontokban e 3 látószög összege 360∘. (P-t az A, B, C pontoktól természetesen különbözőnek tekintjük.) Ha pedig P kívül van a háromszögön, akkor valamelyik két látószög összege egyenlő a harmadikkal, akár a háromszög valamelyik szögének a csúcstartományában fekszik P, akár valamelyik oldalszakasszal szomszédos ún. serpenyőtartományokban. Ezekben a helyzetekben tehát válaszhatjuk úgy az alappontok és a megfelelő látószögek betűzését, hogy α+β=γ legyen; más szóval: hogy C benne legyen a 180∘-nál kisebb APB szögtartományban. Továbbá mindegyik ábránkon úgy választottuk a betűzést, hogy a PA félegyenest negatív, PB-t pedig pozitív irányú és α, ill. β Abszolút értékű elfordítás vigye át a PC félegyenesbe.
Bizonyításunkat 3 részben végezzük az AB, BC, CA egyenesekkel felosztott sík említett 3-féle tartománya szerint.
2. Legyen először P az ABC háromszög belsejében, ekkor 180∘<α+β<360∘, és természetesen P' az A'B'C' háromszögben lesz (1. ábra).

 

 

1. ábra
 

Amikor az A'B' félegyenest A' körül és a B'A' félegyenest B' körül elfordítjuk, a -180∘<-α<0∘ illetve 0∘<β<180∘ szöggel, ezek az A'B' egyenesnek azon a partján haladnak, amelyikben C' van (és P' lesz), és eközben túlfordulnak azon a helyzeten, amelyben párhuzamosak egymással. Így a kívánt Q' metszéspontot a visszafelé való meghosszabbításaik határozzák meg, vagyis Q' az A'B' egyenesnek C'-t nem tartalmazó partján adódik. Az A'B'Q' háromszög első két csúcsánál rendre 180∘-β, 180∘-α nagyságú szög van, így Q'-nél:
B'Q'A'∢=180∘-(360∘-β-α)=α+β-180∘=(360∘-γ)-180∘=180∘-γ=180∘-A'P'B'∢.


Ezek szerint az A'Q'B'P' négyszög konvex húrnégyszög, P' valóban rajta van az A', B', Q' pontokkal meghatározott k' körön, ami az állítás első része.
Továbbá Q'P'B'∢=Q'A'B'∢=180∘-β, ami kiegészítő szöge a mért B'P'C'∢=β-nak, tehát a Q'C' egyenes valóban átmegy P'-n, és ez az állítás második része.
3. Ha P a C-nél levő csúcsszögtartományban van, akkor P' és C' ismét az A'B' egyenesnek ugyanazon a partján vannak, másrészt 0∘<α+β<180∘ (2. ábra).
 

 

2. ábra
 

Emiatt az elforduló félegyenesek A'B'-nek C'-t nem tartalmazó partján haladnak, és Q' is a túlsó parton keletkezik:
A'Q'B'∢=180∘-(α+β)=180∘-A'P'B'∢,
P' ismét az A'B'Q'=k' körön van, másrészt Q'P'B'∢=Q'A'B'∢=β, tehát P-ből Q-t a C mögött látjuk. Az állítás ekkor is helyes.
4. Utóbbi felvételünkből C-nek a PC félegyenesen való kellő távolításával kiadódik az a helyzettípus, hogy P az AB oldallal szomszédos serpenyőtartományban van (2. ábra, C'1 és C'2), meggondolásunk erre a helyzetre is bizonyítja az állítást. Úgyszintén arra a helyzetre is, amelyben a 3 alappont egy egyenesen van; ekkor betűzési megállapodásunk szerint C'3 az A'B' szakasz belső pontja.
5. Mindegyik áttekintett helyzetben a Q' pont és az A'B'Q' kör egyértelműen létrejön, és ez áll az első két helyzetben a Q'C' egyenesre is, mert meghatározó pontjai A'B'-nek két különböző partján vannak. A legutóbbi helyzetben is csak abban a kivételes esetben válik határozatlanná a Q'C' egyenes, ha Q' éppen azonosnak adódik C'-vel. Ekkor P' az A'B'Q'≡A'B'C' háromszög körülírt körén van, és természetesen a terepen P az ABC háromszög k0 körülírt körén. Ezt a k0 kört a geodéziai gyakorlatban röviden veszélyes körnek nevezik, ami pontosabban ezt jelenti: bármely A, B, C ponthármas használhatatlan a köréje írt körön levő pontok helyzetének meghatározására szerkesztésünk, vagyis a hátrametszés vizsgált módosítása mellett. Ha A', B', C egy egyenesen vannak, akkor maga ez az egyenes veszi át a veszélyes kör szerepét ‐ ez C-nek az AB egyeneshez való fokozatos közelítésével látható ‐, ennek pontjaira α és β értéke 0∘ vagy az egyiké 180∘, és ebből sem határozható meg P' helyzete. (Gyakorlatilag a veszélyes körhöz a serpenyőtartományokban közel fekvő pontok meghatározása is pontatlan, mert Q' közel adódik C'-höz.)
Eredményünkből tüstént látjuk, hogy a veszélyes kör pontjai az eredeti szerkesztéssel sem határozhatók meg, hiszen minden ilyen pontra az A'C'-hez tartozó α nyílású és a B'C'-hez tartozó β nyílású látókörívek középpontjai egybeesnek, a két körívnek A'B' részíve közös. És fordítva: ha P nincs rajta a veszélyes körön, akkor a két ív középpontja különböző és C'-től különböző közös pontjuk meghatározza P'-t.
6. Eddig figyelmen kívül hagytunk két speciális helyzetet: ha α+β=180∘, és azt is, ha α és β egyike 0∘; pl. α=0∘ azt jelenti, hogy P az AC oldal valamelyik meghosszabbításán van. Eszerint α+β=180∘ mellett α és β egyike sem 0, ekkor pedig P az AB szakaszon van. Így mindkét esetben az eredeti szerkesztésből elég használni a β nyílású körívet. (Reális felvételben természetesen β>B'A'C'∢, 3. ábra, illetve β<B'A'C'∢, 4. ábra.) ‐ A bizonyított eljárásban a 3. ábrán Q' eleve nem jöhet létre, viszont C'P' párhuzamos az A'B'-nek A' körül β szöggel elfordított állásával; a 4. ábra helyzetében Q' azonosnak adódik A'-vel, a segédkör határozatlan, a szabály ‐ csak a betűt nézve ‐ nem használható. (Ha viszont határátmenettel az A' körül β szöggel elfordított egyenest érintő és B'-n átmenő kört vesszük segédkörnek, az eljárás érvényes marad.)
 

 

3. ábra
 

 

 

4. ábra
 

7. Könnyű mindezek után belátni, hogy az alappontok és a látószögek tetszőleges betűzése esetén is érvényes a szerkesztő eljárás és a mértani hely megállapítása.
Megjegyzés. Az eljárás lényege az, hogy az alapelvben 2 körrel végzett szerkesztés helyett célhoz érünk csupán 1 körrel; igaz viszont, hogy 3 egyenest kell rajzolnunk. Ez mégis könnyebb. ‐ A vizsgált eljárást a geodéziában Colin-féle szerkesztésnek nevezik.